ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x^{3} - 1}{2}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y^{3} - 1}{2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y^{3} - 1}{2} = x$ .

$\frac{y^{3} - 1}{2} = x$

خطوة 3.2

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{y^{3} - 1}{2} = 2 x$

خطوة 3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} - 1 = 2 x$

خطوة 3.4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y^{3} = 2 x + 1$

خطوة 3.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[3]{2 x + 1}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1}{2}) + 1}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} - 1^{3}}{2}) + 1}$

خطوة 5.2.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = x$ و $b = 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{2}) + 1}$

خطوة 5.2.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{2}) + 1}$

خطوة 5.2.3.3.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{2}) + 1}$

خطوة 5.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{(x - 1) (x^{2} + x + 1) + 1}$

خطوة 5.2.5

وسّع $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot 1$ و $- 1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.1.2

اطرح $1 x$ من $1 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} + 0 - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.1.3

أضف $x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2}$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.2.1.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x \cdot x^{2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.2.1.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{1 + 2} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.2.1.2

أضف $1$ و $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.2.3

أعِد كتابة $- 1 x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.2.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.3

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{3} + x^{2} - x^{2} - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.1.1

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0 - 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.3.1.2

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} - 1 + 1}$

خطوة 5.2.6.3.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.3.2.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

خطوة 5.2.6.3.2.2

أضف $x^{3}$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

خطوة 5.2.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (\frac{x^{3} - 1}{2}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\sqrt[3]{2 x + 1})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{2 x + 1})}^{3} - 1}{2}$

خطوة 5.3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{3}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{{\sqrt[3]{2 x + 1}}^{3} - 1^{3}}{2}$

خطوة 5.3.3.2

بما أن كلا الحدّين هما مكعبان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مكعبين، $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ حيث $a = \sqrt[3]{2 x + 1}$ و $b = 1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) ({\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

خطوة 5.3.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.3.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{2 x + 1}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} \cdot 1 + 1^{2})}{2}$

خطوة 5.3.3.3.2

اضرب $\sqrt[3]{2 x + 1}$ في $1$ .

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1^{2})}{2}$

خطوة 5.3.3.3.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (\sqrt[3]{2 x + 1}) = \frac{(\sqrt[3]{2 x + 1} - 1) (\sqrt[3]{{(2 x + 1)}^{2}} + \sqrt[3]{2 x + 1} + 1)}{2}$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{3} - 1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{2 x + 1}$