ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x - 1}{x}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x - 1}{x}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y - 1}{y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y - 1}{y} = x$ .

$\frac{y - 1}{y} = x$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$y, 1$

خطوة 3.2.2

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$y$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $\frac{y - 1}{y} = x$ في $y$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $\frac{y - 1}{y} = x$ في $y$ .

$\frac{y - 1}{y} y = x y$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y - 1}{y} y = x y$

خطوة 3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y - 1 = x y$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $x y$ من كلا المتعادلين.

$y - 1 - x y = 0$

خطوة 3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$y - x y = 1$

خطوة 3.4.3

أخرِج العامل $y$ من $y - x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - x y = 1$

خطوة 3.4.3.2

أخرِج العامل $y$ من $- x y$ .

$y \cdot 1 + y (- x) = 1$

خطوة 3.4.3.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$y (1 - x) = 1$

خطوة 3.4.4

اقسِم كل حد في $y (1 - x) = 1$ على $1 - x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

اقسِم كل حد في $y (1 - x) = 1$ على $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$

خطوة 3.4.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{1}{1 - x}$

خطوة 3.4.4.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{1}{1 - x}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{1 - (\frac{x - 1}{x})}$

خطوة 5.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x}{x} - \frac{x - 1}{x}}$

خطوة 5.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - (x - 1)}{x}}$

خطوة 5.2.3.3

أعِد كتابة $\frac{x - (x - 1)}{x}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}}$

خطوة 5.2.3.3.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{x - x + 1}{x}}$

خطوة 5.2.3.3.3

اطرح $x$ من $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{0 + 1}{x}}$

خطوة 5.2.3.3.4

أضف $0$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

خطوة 5.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = 1 x$

خطوة 5.2.5

اضرب $x$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{1}{1 - x})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{(\frac{1}{1 - x}) - 1}{\frac{1}{1 - x}}$

خطوة 5.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} - 1) (1 - x)$

خطوة 5.3.4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} - 1 \cdot \frac{1 - x}{1 - x}) (1 - x)$

خطوة 5.3.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

اجمع $- 1$ و $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = (\frac{1}{1 - x} + \frac{- (1 - x)}{1 - x}) (1 - x)$

خطوة 5.3.5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - (1 - x)}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 \cdot 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6.3

اضرب $- - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.3.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + 1 x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6.3.2

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{1 - 1 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6.4

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{0 + x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.6.5

أضف $0$ و $x$ .

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.7

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{1}{1 - x}) = \frac{x}{1 - x} \cdot (1 - x)$

خطوة 5.3.7.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{1}{1 - x}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x - 1}{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{1 - x}$