ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{y}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

خطوة 3.2

أوجِد القاسم المشترك الأصغر للحدود في المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

يُعد إيجاد القاسم المشترك الأصغر لقائمة القيم بمثابة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لقواسم تلك القيم.

$2 y + 1, 1$

خطوة 3.2.2

احذِف الأقواس.

$2 y + 1, 1$

خطوة 3.2.3

المضاعف المشترك الأصغر لإحدى العبارات ولأي منها هو العبارة.

$2 y + 1$

خطوة 3.3

اضرب كل حد في $\frac{y}{2 y + 1} = x$ في $2 y + 1$ لحذف الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب كل حد في $\frac{y}{2 y + 1} = x$ في $2 y + 1$ .

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2 y + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

خطوة 3.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = x (2 y + 1)$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

خطوة 3.3.3.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = 2 x y + x \cdot 1$

خطوة 3.3.3.2.2

اضرب $x$ في $1$ .

$y = 2 x y + x$

خطوة 3.4

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $2 x y$ من كلا المتعادلين.

$y - 2 x y = x$

خطوة 3.4.2

أخرِج العامل $y$ من $y - 2 x y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

أخرِج العامل $y$ من $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

خطوة 3.4.2.2

أخرِج العامل $y$ من $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

خطوة 3.4.2.3

أخرِج العامل $y$ من $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x$

خطوة 3.4.3

اقسِم كل حد في $y (1 - 2 x) = x$ على $1 - 2 x$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

اقسِم كل حد في $y (1 - 2 x) = x$ على $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

خطوة 3.4.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

خطوة 3.4.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اجمع $- 2$ و $\frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.4.3

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.4.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.4.5

أعِد ترتيب الحدود.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.4.6

أعِد كتابة $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.6.1

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.4.6.2

أضف $0$ و $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

خطوة 5.2.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

خطوة 5.2.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

أخرِج العامل $2 x + 1$ من $1 (2 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

خطوة 5.2.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

خطوة 5.2.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

خطوة 5.3.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

خطوة 5.3.4

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اجمع $2$ و $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

خطوة 5.3.4.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

خطوة 5.3.4.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

خطوة 5.3.4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

خطوة 5.3.4.5

أعِد كتابة $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.5.1

اطرح $2 x$ من $2 x$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

خطوة 5.3.4.5.2

أضف $0$ و $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

خطوة 5.3.5

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

خطوة 5.3.6

اضرب $- 2 x + 1$ في $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

خطوة 5.3.7

اضرب $\frac{x}{1 - 2 x}$ في $- 2 x + 1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

خطوة 5.3.8

احذِف العامل المشترك لـ $- 2 x + 1$ و $1 - 2 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.8.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

خطوة 5.3.8.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

خطوة 5.3.8.3

اقسِم $x$ على $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$