ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (3 x) - 2$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \ln (3 x) - 2$ في صورة معادلة.

$y = \ln (3 x) - 2$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \ln (3 y) - 2$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (3 y) - 2 = x$ .

$\ln (3 y) - 2 = x$

خطوة 3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$\ln (3 y) = x + 2$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (3 y)} = e^{x + 2}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (3 y) = x + 2$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x + 2} = 3 y$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 y = e^{x + 2}$ .

$3 y = e^{x + 2}$

خطوة 3.5.2

اقسِم كل حد في $3 y = e^{x + 2}$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اقسِم كل حد في $3 y = e^{x + 2}$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

خطوة 3.5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x + 2}}{3}$

خطوة 3.5.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{x + 2}}{3}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ هي معكوس $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\ln (3 x) - 2)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{(\ln (3 x) - 2) + 2}}{3}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln (3 x) - 2 + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x) + 0}}{3}$

خطوة 5.2.3.1.2

أضف $\ln (3 x)$ و $0$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{e^{\ln (3 x)}}{3}$

خطوة 5.2.3.2

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\ln (3 x) - 2) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{e^{x + 2}}{3})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (3 (\frac{e^{x + 2}}{3})) - 2$

خطوة 5.3.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = \ln (e^{x + 2}) - 2$

خطوة 5.3.3.2

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x + 2$ خارج الأُس.

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \ln (e) - 2$

خطوة 5.3.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = (x + 2) \cdot 1 - 2$

خطوة 5.3.3.4

اضرب $x + 2$ في $1$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 2 - 2$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 2 - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{e^{x + 2}}{3}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$ هي معكوس $f (x) = \ln (3 x) - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x + 2}}{3}$