ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 6 x^{3} - 8$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 6 x^{3} - 8$ في صورة معادلة.

$y = 6 x^{3} - 8$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 6 y^{3} - 8$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $6 y^{3} - 8 = x$ .

$6 y^{3} - 8 = x$

خطوة 3.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$6 y^{3} = x + 8$

خطوة 3.3

اقسِم كل حد في $6 y^{3} = x + 8$ على $6$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اقسِم كل حد في $6 y^{3} = x + 8$ على $6$ .

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{6 y^{3}}{6} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

خطوة 3.3.2.1.2

اقسِم $y^{3}$ على $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{8}{6}$

خطوة 3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 (4)}{6}$

خطوة 3.3.3.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $6$ .

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.3.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

خطوة 3.3.3.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y^{3} = \frac{x}{6} + \frac{4}{3}$

خطوة 3.4

خُذ الجذر المحدد لكلا المتعادلين لحذف الأُس على الطرف الأيسر.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$

خطوة 3.5

بسّط $\sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

لكتابة $\frac{4}{3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{2}}$

خطوة 3.5.2

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $6$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اضرب $\frac{4}{3}$ في $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 2}}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $3$ في $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{6} + \frac{4 \cdot 2}{6}}$

خطوة 3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4 \cdot 2}{6}}$

خطوة 3.5.4

اضرب $4$ في $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$

خطوة 3.5.5

أعِد كتابة $\sqrt[3]{\frac{x + 8}{6}}$ بالصيغة $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$

خطوة 3.5.6

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$

خطوة 3.5.7

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.1

اضرب $\frac{\sqrt[3]{x + 8}}{\sqrt[3]{6}}$ في $\frac{{\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{\sqrt[3]{6} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

خطوة 3.5.7.2

ارفع $\sqrt[3]{6}$ إلى القوة $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1} {\sqrt[3]{6}}^{2}}$

خطوة 3.5.7.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{1 + 2}}$

خطوة 3.5.7.4

أضف $1$ و $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{\sqrt[3]{6}}^{3}}$

خطوة 3.5.7.5

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{6}}^{3}$ بالصيغة $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{6}$ في صورة $6^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{{(6^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

خطوة 3.5.7.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

خطوة 3.5.7.5.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.5.7.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.7.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{\frac{3}{3}}}$

خطوة 3.5.7.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6^{1}}$

خطوة 3.5.7.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} {\sqrt[3]{6}}^{2}}{6}$

خطوة 3.5.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.8.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{6}}^{2}$ بالصيغة $\sqrt[3]{6^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{6^{2}}}{6}$

خطوة 3.5.8.2

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 8} \sqrt[3]{36}}{6}$

خطوة 3.5.9

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.9.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$

خطوة 3.5.9.2

أعِد ترتيب العوامل في $\frac{\sqrt[3]{(x + 8) \cdot 36}}{6}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ هي معكوس $f (x) = 6 x^{3} - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (6 x^{3} - 8)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 ((6 x^{3} - 8) + 8)}}{6}$

خطوة 5.2.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أضف $- 8$ و $8$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 (6 x^{3} + 0)}}{6}$

خطوة 5.2.3.2

أضف $6 x^{3}$ و $0$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{36 \cdot (6 x^{3})}}{6}$

خطوة 5.2.3.3

اضرب $36$ في $6$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{216 x^{3}}}{6}$

خطوة 5.2.3.4

أعِد كتابة $216 x^{3}$ بالصيغة ${(6 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{\sqrt[3]{{(6 x)}^{3}}}{6}$

خطوة 5.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أنها أعداد حقيقية.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

خطوة 5.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = \frac{6 x}{6}$

خطوة 5.2.4.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (6 x^{3} - 8) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 {(\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6})}^{3} - 8$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

أعِد كتابة ${\sqrt[3]{36 (x + 8)}}^{3}$ بالصيغة $36 (x + 8)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{36 (x + 8)}$ في صورة ${(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{({(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.1.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.1.3

اجمع $\frac{1}{3}$ و $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{{(36 (x + 8))}^{\frac{3}{3}}}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.1.5

بسّط.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.3

اضرب $36$ في $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 288}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.4

أخرِج العامل $36$ من $36 x + 288$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.4.1

أخرِج العامل $36$ من $36 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x) + 288}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.4.2

أخرِج العامل $36$ من $288$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 x + 36 \cdot 8}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.2.4.3

أخرِج العامل $36$ من $36 x + 36 \cdot 8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6^{3}}) - 8$

خطوة 5.3.3.3

ارفع $6$ إلى القوة $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{216}) - 8$

خطوة 5.3.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.4.1

أخرِج العامل $6$ من $216$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 (36)}) - 8$

خطوة 5.3.3.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = 6 (\frac{36 (x + 8)}{6 \cdot 36}) - 8$

خطوة 5.3.3.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

خطوة 5.3.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = \frac{36 (x + 8)}{36} - 8$

خطوة 5.3.3.5.2

اقسِم $x + 8$ على $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 8 - 8$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 8 - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $8$ من $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$ هي معكوس $f (x) = 6 x^{3} - 8$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{36 (x + 8)}}{6}$