ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ في صورة معادلة.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب المعادلة في $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

خطوة 3.3.1.1.2

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

خطوة 3.3.1.1.3

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

خطوة 3.3.1.1.4

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ ، حيث $a = y$ و $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

خطوة 3.3.1.2

حلّل $y^{2} + y - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.2.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 3.3.1.2.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

خطوة 3.3.1.3

اضرب $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ في $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

خطوة 3.3.1.4

حلّل $y^{2} + y - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.4.1

$- 1, 2$

خطوة 3.3.1.4.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

خطوة 3.3.1.5

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

خطوة 3.3.1.5.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

خطوة 3.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $y + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

خطوة 3.3.1.5.2.2

اقسِم ${(y + 1)}^{2}$ على $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

خطوة 3.3.1.5.3

أعِد كتابة ${(y + 1)}^{2}$ بالصيغة $(y + 1) (y + 1)$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

خطوة 3.3.1.6

وسّع $(y + 1) (y + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

خطوة 3.3.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

خطوة 3.3.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

خطوة 3.3.1.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.7.1.1

اضرب $y$ في $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

خطوة 3.3.1.7.1.2

اضرب $y$ في $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

خطوة 3.3.1.7.1.3

اضرب $y$ في $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

خطوة 3.3.1.7.1.4

اضرب $1$ في $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

خطوة 3.3.1.7.2

أضف $y$ و $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

خطوة 3.4.1.2

اطرح $2 y$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

خطوة 3.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

خطوة 3.4.3

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 3.4.4

عوّض بقيم $a = x - 1$ و $b = x - 2$ و $c = - 2 x - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $y$ .

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.3

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.4

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.5.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.5.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.5.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.6

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.7

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.8

وسّع $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.9.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.9.1.2.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9.1.3

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9.1.4

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9.1.5

اضرب $- 2$ في $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9.1.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.9.2

اطرح $8 x$ من $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.10

أضف $x^{2}$ و $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.11

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.12

اطرح $4$ من $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.13

أضف $9 x^{2} - 8 x$ و $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.14

أخرِج العامل $x$ من $9 x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.14.1

أخرِج العامل $x$ من $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.14.2

أخرِج العامل $x$ من $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.5.14.3

أخرِج العامل $x$ من $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.6.1

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6.3

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6.5

أخرِج العامل $- 1$ من $\sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6.7

أعِد كتابة $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ بالصيغة $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.6.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.2

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.3

أعِد كتابة ${(x - 2)}^{2}$ بالصيغة $(x - 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.4

وسّع $(x - 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.5

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.5.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.5.1.2

انقُل $- 2$ إلى يسار $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.5.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.5.2

اطرح $2 x$ من $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.6

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.7

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.8

وسّع $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.8.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.9.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.9.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9.1.2

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.9.1.2.1

انقُل $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9.1.2.2

اضرب $x$ في $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9.1.3

اضرب $- 4$ في $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9.1.4

اضرب $- 1$ في $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9.1.5

اضرب $- 2$ في $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9.1.6

اضرب $4$ في $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.9.2

اطرح $8 x$ من $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.10

أضف $x^{2}$ و $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.11

اطرح $4 x$ من $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.12

اطرح $4$ من $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.13

أضف $9 x^{2} - 8 x$ و $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.14

أخرِج العامل $x$ من $9 x^{2} - 8 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.7.1.14.1

أخرِج العامل $x$ من $9 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.14.2

أخرِج العامل $x$ من $- 8 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.1.14.3

أخرِج العامل $x$ من $x (9 x) + x \cdot - 8$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.2

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.4

أعِد كتابة $2$ بالصيغة $- 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (- 2)$ .

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ .

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.8

أعِد كتابة $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ بالصيغة $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.7.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 3.4.8

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ هي معكوس $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ و $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x (9 x - 8)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x (9 x - 8) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

خطوة 5.3.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 5.3.2.3

عيّن قيمة العبارة $9 x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

عيّن قيمة $9 x - 8$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$9 x - 8 = 0$

خطوة 5.3.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $9 x - 8 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.1

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$9 x = 8$

خطوة 5.3.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $9 x = 8$ على $9$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $9 x = 8$ على $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

خطوة 5.3.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (9 x - 8) \geq 0$ صحيحة.

$x = 0, \frac{8}{9}$

خطوة 5.3.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

خطوة 5.3.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 5.3.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.1.3

الطرف الأيسر $52$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < \frac{8}{9}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < \frac{8}{9}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.44$

خطوة 5.3.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0.44$ في المتباينة الأصلية.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.2.3

الطرف الأيسر $- 1.7776$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > \frac{8}{9}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > \frac{8}{9}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 5.3.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.3.3

الطرف الأيسر $57$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 0$ صحيحة

$0 < x < \frac{8}{9}$ خطأ

$x > \frac{8}{9}$ صحيحة

$x < 0$ صحيحة

$0 < x < \frac{8}{9}$ خطأ

$x > \frac{8}{9}$ صحيحة

خطوة 5.3.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq 0$ أو $x \geq \frac{8}{9}$

خطوة 5.3.3

عيّن قيمة القاسم في $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$2 (x - 1) = 0$

خطوة 5.3.4

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اقسِم كل حد في $2 (x - 1) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.1

اقسِم كل حد في $2 (x - 1) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.4.1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.4.1.2.1.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

خطوة 5.3.4.1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5.3.5

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

خطوة 5.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ لا يساوي مدى $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ ليست معكوس $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6