ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

خطوة 1

اكتب $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ في صورة معادلة.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $e^{3 y - 5} - 2 = x$ .

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

خطوة 3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{3 y - 5})$ بنقل $3 y - 5$ خارج اللوغاريتم.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

خطوة 3.4.3

اضرب $3 y - 5$ في $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

خطوة 3.5

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

خطوة 3.6

اقسِم كل حد في $3 y = \ln (x + 2) + 5$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اقسِم كل حد في $3 y = \ln (x + 2) + 5$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 3.6.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ هي معكوس $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 5.2.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 5.2.3.1.2

أضف $e^{3 x - 5}$ و $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 5.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

خطوة 5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $3 x - 5$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

خطوة 5.2.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

خطوة 5.2.4.3

اضرب $3 x - 5$ في $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

خطوة 5.2.5

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $3 x - 5 + 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

خطوة 5.2.5.1.2

أضف $3 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.2.5.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

خطوة 5.2.5.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.1.1

أعِد كتابة $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ بالصيغة $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.1.2

بسّط $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ بنقل $\frac{1}{3}$ داخل اللوغاريتم.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.2

لكتابة $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.3

اجمع $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ و $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1.1

اضرب $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1.1.1

أعِد ترتيب $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ و $3$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5.1.1.2

بسّط $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ بنقل $3$ داخل اللوغاريتم.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5.1.2

اضرب الأُسس في ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5.1.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1.5.1.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5.1.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5.1.3

بسّط.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.1.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

خطوة 5.3.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.2.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

خطوة 5.3.3.2.2

أضف $\ln (x + 2)$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

خطوة 5.3.3.3

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 2 - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ هي معكوس $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$