ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{4 x - 4}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt{4 x - 4}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{4 y - 4}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{4 y - 4} = x$ .

$\sqrt{4 y - 4} = x$

خطوة 3.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{4 y - 4}}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 y - 4}$ في صورة ${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(4 y - 4)}^{1} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط.

$4 y - 4 = x^{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$4 y = x^{2} + 4$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $4 y = x^{2} + 4$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $4 y = x^{2} + 4$ على $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

اقسِم $4$ على $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 1$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 4})}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) - 4}}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.1.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) + 4 (- 1)}}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{2^{2} (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.3

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(2 \sqrt{x - 1})}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.4

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.6

أعِد كتابة ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ بالصيغة $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x - 1}$ في صورة ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.6.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x + 4 \cdot - 1}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.8

اضرب $4$ في $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x - 4}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.9

أخرِج العامل $4$ من $4 x - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.9.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) - 4}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.9.2

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.1.9.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (x) + 4 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

خطوة 5.2.3.2.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x - 1 + 1$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x - 1 + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x^{2}}{4} + 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $4$ من $- 4$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $4$ من $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1 - 1)}$

خطوة 5.3.4

بسّط بطرح الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

خطوة 5.3.4.2

أضف $\frac{x^{2}}{4}$ و $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

خطوة 5.3.5

اجمع $4$ و $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

خطوة 5.3.6

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

اختزِل العبارة $\frac{4 x^{2}}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

خطوة 5.3.6.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

خطوة 5.3.6.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

خطوة 5.3.7

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$