ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt{8 x + 10}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{8 y + 10}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{8 y + 10} = x$ .

$\sqrt{8 y + 10} = x$

خطوة 3.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{8 y + 10}}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{8 y + 10}$ في صورة ${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(8 y + 10)}^{1} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط.

$8 y + 10 = x^{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$8 y = x^{2} - 10$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $8 y = x^{2} - 10$ على $8$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $8 y = x^{2} - 10$ على $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

خطوة 3.4.2.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 10$ و $8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 10$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (- 5)}{8}$

خطوة 3.4.2.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.4.2.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

خطوة 3.4.2.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 5}{4}$

خطوة 3.4.2.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(\sqrt{8 x + 10})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 10}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.1.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.1.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ بالصيغة $2 (4 x + 5)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ في صورة ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.2.5

بسّط.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.5

اضرب $2$ في $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 10}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.6

أخرِج العامل $2$ من $8 x + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.6.1

أخرِج العامل $2$ من $8 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 10}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.6.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 (5)}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.1.6.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 x) + 2 (5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

خطوة 5.2.4

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

خطوة 5.2.4.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 x + 5 - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 0}{4}$

خطوة 5.2.4.2.2

أضف $4 x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.2.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

خطوة 5.2.4.3.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10}$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $2$ من $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أخرِج العامل $2$ من $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 10}$

خطوة 5.3.3.2

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)}$

خطوة 5.3.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 5)}$

خطوة 5.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

خطوة 5.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 (2)}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

خطوة 5.3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

خطوة 5.3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

خطوة 5.3.6

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.6.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{4}$ إلى بسط الكسر.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

خطوة 5.3.6.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

خطوة 5.3.6.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 5 + 5)}$

خطوة 5.3.7

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.7.1

أضف $- 5$ و $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

خطوة 5.3.7.2

أضف $\frac{x^{2}}{2}$ و $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

خطوة 5.3.8

اجمع $2$ و $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

خطوة 5.3.9

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1

اختزِل العبارة $\frac{2 x^{2}}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.9.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

خطوة 5.3.9.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

خطوة 5.3.9.2

اقسِم $x^{2}$ على $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

خطوة 5.3.10

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$