ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 5 + \ln (x)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 5 + \ln (x)$ في صورة معادلة.

$y = 5 + \ln (x)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 5 + \ln (y)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $5 + \ln (y) = x$ .

$5 + \ln (y) = x$

خطوة 3.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$\ln (y) = x - 5$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (y)} = e^{x - 5}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (y) = x - 5$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x - 5} = y$

خطوة 3.5

أعِد كتابة المعادلة في صورة $y = e^{x - 5}$ .

$y = e^{x - 5}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ هي معكوس $f (x) = 5 + \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (5 + \ln (x))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{(5 + \ln (x)) - 5}$

خطوة 5.2.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(5 + \ln (x)) - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{0 + \ln (x)}$

خطوة 5.2.3.2

أضف $0$ و $\ln (x)$ .

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = e^{\ln (x)}$

خطوة 5.2.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (5 + \ln (x)) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (e^{x - 5})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + \ln (e^{x - 5})$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x - 5$ خارج الأُس.

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \ln (e)$

خطوة 5.3.3.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + (x - 5) \cdot 1$

خطوة 5.3.3.3

اضرب $x - 5$ في $1$ .

$f (e^{x - 5}) = 5 + x - 5$

خطوة 5.3.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $5 + x - 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

اطرح $5$ من $5$ .

$f (e^{x - 5}) = x + 0$

خطوة 5.3.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (e^{x - 5}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$ هي معكوس $f (x) = 5 + \ln (x)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x - 5}$