ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 e^{x + 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 2 e^{x + 1}$ في صورة معادلة.

$y = 2 e^{x + 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 2 e^{y + 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $2 e^{y + 1} = x$ .

$2 e^{y + 1} = x$

خطوة 3.2

اقسِم كل حد في $2 e^{y + 1} = x$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اقسِم كل حد في $2 e^{y + 1} = x$ على $2$ .

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 e^{y + 1}}{2} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.2.2.1.2

اقسِم $e^{y + 1}$ على $1$ .

$e^{y + 1} = \frac{x}{2}$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (\frac{x}{2})$

خطوة 3.4

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

وسّع $\ln (e^{y + 1})$ بنقل $y + 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (\frac{x}{2})$

خطوة 3.4.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (\frac{x}{2})$

خطوة 3.4.3

اضرب $y + 1$ في $1$ .

$y + 1 = \ln (\frac{x}{2})$

خطوة 3.5

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ هي معكوس $f (x) = 2 e^{x + 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (2 e^{x + 1})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (\frac{2 e^{x + 1}}{2}) - 1$

خطوة 5.2.3.1.2

اقسِم $e^{x + 1}$ على $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

خطوة 5.2.3.2

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x + 1$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \ln (e) - 1$

خطوة 5.2.3.3

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

خطوة 5.2.3.4

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 1 - 1$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (2 e^{x + 1}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (\frac{x}{2}) - 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1}$

خطوة 5.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(\ln (\frac{x}{2}) - 1) + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2}) + 0}$

خطوة 5.3.3.2

أضف $\ln (\frac{x}{2})$ و $0$ .

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 e^{\ln (\frac{x}{2})}$

خطوة 5.3.4

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

خطوة 5.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = 2 (\frac{x}{2})$

خطوة 5.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (\frac{x}{2}) - 1) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$ هي معكوس $f (x) = 2 e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (\frac{x}{2}) - 1$