ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{144 - x^{2}}$ , $y = 16 - x$

خطوة 1

احذِف المتعادلين المتساويين في كل معادلة واجمع.

$\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ في $\sqrt{144 - x^{2}} = 16 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{144 - x^{2}}}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

خطوة 2.2

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{144 - x^{2}}$ في صورة ${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(16 - x)}^{2}$

خطوة 2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

بسّط ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

خطوة 2.2.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(144 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(16 - x)}^{2}$

خطوة 2.2.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(144 - x^{2})}^{1} = {(16 - x)}^{2}$

خطوة 2.2.2.1.2

بسّط.

$144 - x^{2} = {(16 - x)}^{2}$

خطوة 2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بسّط ${(16 - x)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.1

أعِد كتابة ${(16 - x)}^{2}$ بالصيغة $(16 - x) (16 - x)$ .

$144 - x^{2} = (16 - x) (16 - x)$

خطوة 2.2.3.1.2

وسّع $(16 - x) (16 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$144 - x^{2} = 16 (16 - x) - x (16 - x)$

خطوة 2.2.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x (16 - x)$

خطوة 2.2.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$144 - x^{2} = 16 \cdot 16 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

خطوة 2.2.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.3.1.1

اضرب $16$ في $16$ .

$144 - x^{2} = 256 + 16 (- x) - x \cdot 16 - x (- x)$

خطوة 2.2.3.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - x \cdot 16 - x (- x)$

خطوة 2.2.3.1.3.1.3

اضرب $16$ في $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - x (- x)$

خطوة 2.2.3.1.3.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

خطوة 2.2.3.1.3.1.5

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1.3.1.5.1

انقُل $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

خطوة 2.2.3.1.3.1.5.2

اضرب $x$ في $x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

خطوة 2.2.3.1.3.1.6

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + 1 x^{2}$

خطوة 2.2.3.1.3.1.7

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$144 - x^{2} = 256 - 16 x - 16 x + x^{2}$

خطوة 2.2.3.1.3.2

اطرح $16 x$ من $- 16 x$ .

$144 - x^{2} = 256 - 32 x + x^{2}$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بما أن $x$ موجودة على المتعادل الأيمن، بدّل الأطراف بحيث تصبح على المتعادل الأيسر.

$256 - 32 x + x^{2} = 144 - x^{2}$

خطوة 2.3.2

انقُل كل الحدود التي تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

أضف $x^{2}$ إلى كلا المتعادلين.

$256 - 32 x + x^{2} + x^{2} = 144$

خطوة 2.3.2.2

أضف $x^{2}$ و $x^{2}$ .

$256 - 32 x + 2 x^{2} = 144$

خطوة 2.3.3

اطرح $144$ من كلا المتعادلين.

$256 - 32 x + 2 x^{2} - 144 = 0$

خطوة 2.3.4

اطرح $144$ من $256$ .

$- 32 x + 2 x^{2} + 112 = 0$

خطوة 2.3.5

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $- 32 x + 2 x^{2} + 112$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 32 x$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 112 = 0$

خطوة 2.3.5.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x) + 2 (x^{2}) + 112 = 0$

خطوة 2.3.5.1.3

أخرِج العامل $2$ من $112$ .

$2 (- 16 x) + 2 x^{2} + 2 \cdot 56 = 0$

خطوة 2.3.5.1.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 16 x) + 2 x^{2}$ .

$2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56 = 0$

خطوة 2.3.5.1.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- 16 x + x^{2}) + 2 \cdot 56$ .

$2 (- 16 x + x^{2} + 56) = 0$

خطوة 2.3.5.2

أعِد ترتيب الحدود.

$2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$

خطوة 2.3.6

اقسِم كل حد في $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

اقسِم كل حد في $2 (x^{2} - 16 x + 56) = 0$ على $2$ .

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.6.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (x^{2} - 16 x + 56)}{2} = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.6.2.1.2

اقسِم $x^{2} - 16 x + 56$ على $1$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = \frac{0}{2}$

خطوة 2.3.6.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.3.1

اقسِم $0$ على $2$ .

$x^{2} - 16 x + 56 = 0$

خطوة 2.3.7

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 16 - x$

خطوة 2.3.8

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 16$ و $c = 56$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 56)}}{2 \cdot 1} + y = 16 - x$

خطوة 2.3.9

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1.1

ارفع $- 16$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.9.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.9.1.2.2

اضرب $- 4$ في $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.9.1.3

اطرح $224$ من $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.9.1.4

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.9.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.9.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.9.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.9.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.9.3

بسّط $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

خطوة 2.3.10

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1.1

ارفع $- 16$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.10.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.10.1.2.2

اضرب $- 4$ في $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.10.1.3

اطرح $224$ من $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.10.1.4

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.10.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.10.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.10.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.10.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.10.3

بسّط $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

خطوة 2.3.10.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 8 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 2.3.11

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.1

ارفع $- 16$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.11.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 56$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 56}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.11.1.2.2

اضرب $- 4$ في $56$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 224}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.11.1.3

اطرح $224$ من $256$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.11.1.4

أعِد كتابة $32$ بالصيغة $4^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.11.1.4.1

أخرِج العامل $16$ من $32$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.11.1.4.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.11.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 2.3.11.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 2.3.11.3

بسّط $\frac{16 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = 8 \pm 2 \sqrt{2}$

خطوة 2.3.11.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 8 - 2 \sqrt{2}$

خطوة 2.3.12

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}$

خطوة 3

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 8 + 2 \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 + 2 \sqrt{2})$

خطوة 3.2

بسّط $16 - (8 + 2 \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (2 \sqrt{2})$

خطوة 3.2.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$y = 16 - 8 - (2 \sqrt{2})$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $2$ في $- 1$ .

$y = 16 - 8 - 2 \sqrt{2}$

خطوة 3.2.2

اطرح $8$ من $16$ .

$y = 8 - 2 \sqrt{2}$

خطوة 4

احسِب قيمة $y$ عندما تكون $x = 8 - 2 \sqrt{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $8 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 16 - (8 - 2 \sqrt{2})$

خطوة 4.2

بسّط $16 - (8 - 2 \sqrt{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 16 - 1 \cdot 8 - (- 2 \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$y = 16 - 8 - (- 2 \sqrt{2})$

خطوة 4.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y = 16 - 8 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.2.2

اطرح $8$ من $16$ .

$y = 8 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 5

حل السلسلة هو المجموعة الكاملة من الأزواج المرتبة التي تُعد حلولاً صحيحة.

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2})$

$(8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة النقطة:

$(8 + 2 \sqrt{2}, 8 - 2 \sqrt{2}), (8 - 2 \sqrt{2}, 8 + 2 \sqrt{2})$

صيغة المعادلة:

$x = 8 + 2 \sqrt{2}, y = 8 - 2 \sqrt{2}$

$x = 8 - 2 \sqrt{2}, y = 8 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 7