ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{49} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{9} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 7$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 1$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(1, - 3)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(7)}^{2} + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{49 + {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{49 + 9}$

خطوة 5.3.3

أضف $49$ و $9$ .

$\sqrt{58}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(8, - 3)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 6, - 3)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(8, - 3), (- 6, - 3)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1 + \sqrt{58}, - 3)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(1 - \sqrt{58}, - 3)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(1 + \sqrt{58}, - 3), (1 - \sqrt{58}, - 3)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(7)}^{2} + {(3)}^{2}}}{7}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{49 + 3^{2}}}{7}$

خطوة 8.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{49 + 9}}{7}$

خطوة 8.3.3

أضف $49$ و $9$ .

$\frac{\sqrt{58}}{7}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{3^{2}}{\sqrt{58}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{9}{\sqrt{58}}$

خطوة 9.3.2

اضرب $\frac{9}{\sqrt{58}}$ في $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{9}{\sqrt{58}} \cdot \frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$

خطوة 9.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.1

اضرب $\frac{9}{\sqrt{58}}$ في $\frac{\sqrt{58}}{\sqrt{58}}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{\sqrt{58} \sqrt{58}}$

خطوة 9.3.3.2

ارفع $\sqrt{58}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} \sqrt{58}}$

خطوة 9.3.3.3

ارفع $\sqrt{58}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1} {\sqrt{58}}^{1}}$

خطوة 9.3.3.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.3.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{\sqrt{58}}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6

أعِد كتابة ${\sqrt{58}}^{2}$ بالصيغة $58$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{58}$ في صورة $58^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{{(58^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.3.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.3.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.3.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.3.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58^{1}}$

خطوة 9.3.3.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{9 \sqrt{58}}{58}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = \frac{3}{7} \cdot (x - 1) - 3$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{3}{7} x + \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{3}{7}$ و $x$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $\frac{3}{7} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

اجمع $\frac{3}{7}$ و $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{3 \cdot - 1}{7} - 3$

خطوة 11.2.1.4.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3}{7} - 3$

خطوة 11.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} - 3$

خطوة 11.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} - 3 \cdot \frac{7}{7}$

خطوة 11.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{7}{7}$ .

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{3}{7} + \frac{- 3 \cdot 7}{7}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3 - 3 \cdot 7}{7}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $- 3$ في $7$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 3 - 21}{7}$

خطوة 11.2.5.2

اطرح $21$ من $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{7} + \frac{- 24}{7}$

خطوة 11.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{3}{7} \cdot (x - (1)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$y = - \frac{3}{7} \cdot (x - 1) - 3$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{3}{7} x - \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{3}{7}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} - \frac{3}{7} \cdot - 1 - 3$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- \frac{3}{7} \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} + 1 (\frac{3}{7}) - 3$

خطوة 12.2.1.4.2

اضرب $\frac{3}{7}$ في $1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{7} + \frac{3}{7} - 3$

خطوة 12.2.1.5

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} - 3$

خطوة 12.2.2

لكتابة $- 3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} - 3 \cdot \frac{7}{7}$

خطوة 12.2.3

اجمع $- 3$ و $\frac{7}{7}$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3}{7} + \frac{- 3 \cdot 7}{7}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3 - 3 \cdot 7}{7}$

خطوة 12.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اضرب $- 3$ في $7$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{3 - 21}{7}$

خطوة 12.2.5.2

اطرح $21$ من $3$ .

$y = - \frac{3 x}{7} + \frac{- 18}{7}$

خطوة 12.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}, y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(1, - 3)$

الرؤوس: $(8, - 3), (- 6, - 3)$

البؤر: $(1 + \sqrt{58}, - 3), (1 - \sqrt{58}, - 3)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{58}}{7}$

المعلمة البؤرية: $\frac{9 \sqrt{58}}{58}$

خطوط التقارب: $y = \frac{3 x}{7} - \frac{24}{7}$ ، $y = - \frac{3 x}{7} - \frac{18}{7}$

خطوة 15