ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{2} + 8 x = 4 y - 8$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $4 y - 8 = x^{2} + 8 x$ .

$4 y - 8 = x^{2} + 8 x$

خطوة 1.2

أضف $8$ إلى كلا المتعادلين.

$4 y = x^{2} + 8 x + 8$

خطوة 1.3

اقسِم كل حد في $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

اقسِم كل حد في $4 y = x^{2} + 8 x + 8$ على $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{8 x}{4} + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.1

أخرِج العامل $4$ من $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4} + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.3.1.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1.1.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 (1)} + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.3.1.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 1} + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.3.1.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 x}{1} + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.3.1.1.2.4

اقسِم $2 x$ على $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + \frac{8}{4}$

خطوة 1.3.3.1.2

اقسِم $8$ على $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أكمل المربع لـ $\frac{x^{2}}{4} + 2 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = 2$

$c = 2$

خطوة 2.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

خطوة 2.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2}{2 (\frac{1}{4})}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{1}{\frac{1}{4}}$

خطوة 2.1.1.3.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = 1 \cdot 4$

خطوة 2.1.1.3.2.3

اضرب $4$ في $1$ .

$d = 4$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 2 - \frac{2^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

خطوة 2.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$e = 2 - \frac{4}{4 (\frac{1}{4})}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$e = 2 - \frac{4}{\frac{4}{4}}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.3

اقسِم $4$ على $4$ .

$e = 2 - \frac{4}{1}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.4

اقسِم $4$ على $1$ .

$e = 2 - 1 \cdot 4$

خطوة 2.1.1.4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 2 - 4$

خطوة 2.1.1.4.2.2

اطرح $4$ من $2$ .

$e = - 2$

خطوة 2.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 4)}^{2} - 2$

خطوة 2.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 4)}^{2} - 2$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 4$

$k = - 2$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ موجبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى.

مفتوح إلى أعلى

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(- 4, - 2)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

خطوة 2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

خطوة 2.5.3.2

بسّط بقسمة الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.2.1

اقسِم $4$ على $4$ .

$\frac{1}{1}$

خطوة 2.5.3.2.2

اقسِم $1$ على $1$ .

$1$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 4, - 1)$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = - 4$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - 3$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 4, - 2)$

البؤرة: $(- 4, - 1)$

محور التناظر: $x = - 4$

الدليل: $y = - 3$

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 4, - 2)$

البؤرة: $(- 4, - 1)$

محور التناظر: $x = - 4$

الدليل: $y = - 3$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 6$ في العبارة.

$f (- 6) = \frac{{(- 6)}^{2}}{4} + 2 (- 6) + 2$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$f (- 6) = \frac{36}{4} + 2 (- 6) + 2$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $36$ على $4$ .

$f (- 6) = 9 + 2 (- 6) + 2$

خطوة 3.2.1.3

اضرب $2$ في $- 6$ .

$f (- 6) = 9 - 12 + 2$

خطوة 3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اطرح $12$ من $9$ .

$f (- 6) = - 3 + 2$

خطوة 3.2.2.2

أضف $- 3$ و $2$ .

$f (- 6) = - 1$

خطوة 3.2.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 3.3

قيمة $y$ عند $x = - 6$ تساوي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 3.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 5$ في العبارة.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{2}}{4} + 2 (- 5) + 2$

خطوة 3.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

ارفع $- 5$ إلى القوة $2$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + 2 (- 5) + 2$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $2$ في $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} - 10 + 2$

خطوة 3.5.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اكتب $- 10$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} + 2$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $\frac{- 10}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

خطوة 3.5.2.3

اضرب $\frac{- 10}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + 2$

خطوة 3.5.2.4

اكتب $2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

خطوة 3.5.2.5

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 3.5.2.6

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 5) = \frac{25}{4} + \frac{- 10 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

خطوة 3.5.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 5) = \frac{25 - 10 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 3.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اضرب $- 10$ في $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 3.5.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- 5) = \frac{25 - 40 + 8}{4}$

خطوة 3.5.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.5.1

اطرح $40$ من $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 15 + 8}{4}$

خطوة 3.5.5.2

أضف $- 15$ و $8$ .

$f (- 5) = \frac{- 7}{4}$

خطوة 3.5.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 5) = - \frac{7}{4}$

خطوة 3.5.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

خطوة 3.6

قيمة $y$ عند $x = - 5$ تساوي $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

خطوة 3.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 2 (- 2) + 2$

خطوة 3.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4} + 2 (- 2) + 2$

خطوة 3.8.1.2

اقسِم $4$ على $4$ .

$f (- 2) = 1 + 2 (- 2) + 2$

خطوة 3.8.1.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$f (- 2) = 1 - 4 + 2$

خطوة 3.8.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

اطرح $4$ من $1$ .

$f (- 2) = - 3 + 2$

خطوة 3.8.2.2

أضف $- 3$ و $2$ .

$f (- 2) = - 1$

خطوة 3.8.3

الإجابة النهائية هي $- 1$ .

$- 1$

خطوة 3.9

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $- 1$ .

$y = - 1$

خطوة 3.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 3$ في العبارة.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2 (- 3) + 2$

خطوة 3.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + 2 (- 3) + 2$

خطوة 3.11.1.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} - 6 + 2$

خطوة 3.11.2

أوجِد القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

اكتب $- 6$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} + 2$

خطوة 3.11.2.2

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2$

خطوة 3.11.2.3

اضرب $\frac{- 6}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2$

خطوة 3.11.2.4

اكتب $2$ على هيئة كسر قاسمه $1$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1}$

خطوة 3.11.2.5

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 3.11.2.6

اضرب $\frac{2}{1}$ في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 3) = \frac{9}{4} + \frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

خطوة 3.11.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 3) = \frac{9 - 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 3.11.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

اضرب $- 6$ في $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 3.11.4.2

اضرب $2$ في $4$ .

$f (- 3) = \frac{9 - 24 + 8}{4}$

خطوة 3.11.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.5.1

اطرح $24$ من $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 15 + 8}{4}$

خطوة 3.11.5.2

أضف $- 15$ و $8$ .

$f (- 3) = \frac{- 7}{4}$

خطوة 3.11.5.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (- 3) = - \frac{7}{4}$

خطوة 3.11.6

الإجابة النهائية هي $- \frac{7}{4}$ .

$- \frac{7}{4}$

خطوة 3.12

قيمة $y$ عند $x = - 3$ تساوي $- \frac{7}{4}$ .

$y = - \frac{7}{4}$

خطوة 3.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأعلى

الرأس: $(- 4, - 2)$

البؤرة: $(- 4, - 1)$

محور التناظر: $x = - 4$

الدليل: $y = - 3$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 6 & - 1 \\ - 5 & - \frac{7}{4} \\ - 4 & - 2 \\ - 3 & - \frac{7}{4} \\ - 2 & - 1 \end{array}$

خطوة 5