ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y^{2} - 4 y + 4 x + 4 = 0$

خطوة 1

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $x$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اطرح $y^{2}$ من كلا المتعادلين.

$- 4 y + 4 x + 4 = - y^{2}$

خطوة 1.2

أضف $4 y$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x + 4 = - y^{2} + 4 y$

خطوة 1.3

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$4 x = - y^{2} + 4 y - 4$

خطوة 2

اقسِم كل حد في $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ على $4$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اقسِم كل حد في $4 x = - y^{2} + 4 y - 4$ على $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

خطوة 2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

خطوة 2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

خطوة 2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

خطوة 2.3.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$x = - \frac{y^{2}}{4} + \frac{4 y}{4} + \frac{- 4}{4}$

خطوة 2.3.1.2.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y + \frac{- 4}{4}$

خطوة 2.3.1.3

اقسِم $- 4$ على $4$ .

$x = - \frac{y^{2}}{4} + y - 1$

خطوة 3

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أكمل المربع لـ $- \frac{y^{2}}{4} + y - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 1$

$c = - 1$

خطوة 3.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 3.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{1}{2 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 3.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.2.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$d = \frac{- 1 (- 1)}{2 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 3.1.1.3.2.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$d = - \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

خطوة 3.1.1.3.2.2

اجمع $2$ و $\frac{1}{4}$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2}{4}}$

خطوة 3.1.1.3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ $2$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

خطوة 3.1.1.3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.2.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.1.1.3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = - \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

خطوة 3.1.1.3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = - \frac{1}{\frac{1}{2}}$

خطوة 3.1.1.3.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = - (1 \cdot 2)$

خطوة 3.1.1.3.2.5

اضرب $- (1 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.3.2.5.1

اضرب $2$ في $1$ .

$d = - 1 \cdot 2$

خطوة 3.1.1.3.2.5.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$d = - 2$

خطوة 3.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 1 - \frac{1^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 3.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.2.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$e = - 1 - \frac{1}{4 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 3.1.1.4.2.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1.4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 4 (\frac{1}{4})}$

خطوة 3.1.1.4.2.1.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{4}$ .

$e = - 1 - \frac{1}{\frac{- 4}{4}}$

خطوة 3.1.1.4.2.1.3

اقسِم $- 4$ على $4$ .

$e = - 1 - \frac{1}{- 1}$

خطوة 3.1.1.4.2.1.4

اقسِم $1$ على $- 1$ .

$e = - 1 - - 1$

خطوة 3.1.1.4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = - 1 + 1$

خطوة 3.1.1.4.2.2

أضف $- 1$ و $1$ .

$e = 0$

خطوة 3.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$ .

$- \frac{1}{4} {(y - 2)}^{2} + 0$

خطوة 3.1.2

عيّن قيمة $x$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$x = - \frac{1}{4} \cdot {(y - 2)}^{2} + 0$

خطوة 3.2

استخدِم صيغة الرأس، $x = a {(y - k)}^{2} + h$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 2$

خطوة 3.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح على اليسار.

مفتوح على اليسار

خطوة 3.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(0, 2)$

خطوة 3.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 3.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

خطوة 3.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

خطوة 3.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

خطوة 3.5.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

خطوة 3.5.3.3

اقسِم $4$ على $4$ .

$- \frac{1}{1}$

خطوة 3.5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{1}$

خطوة 3.5.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 1$

خطوة 3.5.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 3.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي السيني $h$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا على اليسار أو على اليمين.

$(h + p, k)$

خطوة 3.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 1, 2)$

خطوة 3.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$y = 2$

خطوة 3.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الرأسي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي السيني $h$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح على اليسار أو على اليمين.

$x = h - p$

خطوة 3.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $h$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$x = 1$

خطوة 3.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(0, 2)$

البؤرة: $(- 1, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = 1$

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(0, 2)$

البؤرة: $(- 1, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = 1$

خطوة 4

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ في $f (x) = 2 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 2, 4.82842712)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 2 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

خطوة 4.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (- 2) = 2 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.1.2.2

الإجابة النهائية هي $2 + 2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 + 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.1.3

حوّل $2 + 2 \sqrt{2}$ إلى رقم عشري.

$= 4.82842712$

خطوة 4.2

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 2$ في $f (x) = 2 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 2, - 0.82842712)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = 2 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 2}$

خطوة 4.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$f (- 2) = 2 - 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.2.2.2

الإجابة النهائية هي $2 - 2 \sqrt{2}$ .

$y = 2 - 2 \sqrt{2}$

خطوة 4.2.3

حوّل $2 - 2 \sqrt{2}$ إلى رقم عشري.

$= - 0.82842712$

خطوة 4.3

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ في $f (x) = 2 + 2 \sqrt{- 1 x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 1, 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 2 + 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 2 + 2 \sqrt{1}$

خطوة 4.3.2.1.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (- 1) = 2 + 2 \cdot 1$

خطوة 4.3.2.1.3

اضرب $2$ في $1$ .

$f (- 1) = 2 + 2$

خطوة 4.3.2.2

أضف $2$ و $2$ .

$f (- 1) = 4$

خطوة 4.3.2.3

الإجابة النهائية هي $4$ .

$y = 4$

خطوة 4.3.3

حوّل $4$ إلى رقم عشري.

$= 4$

خطوة 4.4

عوّض بقيمة $x$ التي تساوي $- 1$ في $f (x) = 2 - 2 \sqrt{- 1 x}$ . في هذه الحالة، النقطة هي $(- 1, 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = 2 - 2 \sqrt{- 1 \cdot - 1}$

خطوة 4.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$f (- 1) = 2 - 2 \sqrt{1}$

خطوة 4.4.2.1.2

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$f (- 1) = 2 - 2 \cdot 1$

خطوة 4.4.2.1.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (- 1) = 2 - 2$

خطوة 4.4.2.2

اطرح $2$ من $2$ .

$f (- 1) = 0$

خطوة 4.4.2.3

الإجابة النهائية هي $0$ .

$y = 0$

خطوة 4.4.3

حوّل $0$ إلى رقم عشري.

$= 0$

خطوة 4.5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4.83 \\ - 2 & - 0.83 \\ - 1 & 4 \\ - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}$

خطوة 5

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح على اليسار

الرأس: $(0, 2)$

البؤرة: $(- 1, 2)$

محور التناظر: $y = 2$

الدليل: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 4.83 \\ - 2 & - 0.83 \\ - 1 & 4 \\ - 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array}$

خطوة 6