ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - x^{2} + 10 x - 30$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أكمل المربع لـ $- x^{2} + 10 x - 30$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = 10$

$c = - 30$

خطوة 1.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{10}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $10$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $10$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.3.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{5}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 5$

خطوة 1.1.1.3.2.2

اضرب $- 1$ في $5$ .

$d = - 5$

خطوة 1.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 30 - \frac{10^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.4.2.1.1

ارفع $10$ إلى القوة $2$ .

$e = - 30 - \frac{100}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = - 30 - \frac{100}{- 4}$

خطوة 1.1.1.4.2.1.3

اقسِم $100$ على $- 4$ .

$e = - 30 - - 25$

خطوة 1.1.1.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 25$ .

$e = - 30 + 25$

خطوة 1.1.1.4.2.2

أضف $- 30$ و $25$ .

$e = - 5$

خطوة 1.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(x - 5)}^{2} - 5$ .

$- {(x - 5)}^{2} - 5$

خطوة 1.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - {(x - 5)}^{2} - 5$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - 1$

$h = 5$

$k = - 5$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(5, - 5)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4}$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(5, - \frac{21}{4})$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 5$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = - \frac{19}{4}$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(5, - 5)$

البؤرة: $(5, - \frac{21}{4})$

محور التناظر: $x = 5$

الدليل: $y = - \frac{19}{4}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(5, - 5)$

البؤرة: $(5, - \frac{21}{4})$

محور التناظر: $x = 5$

الدليل: $y = - \frac{19}{4}$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - {(4)}^{2} + 10 (4) - 30$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 16 + 10 (4) - 30$

خطوة 2.2.1.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f (4) = - 16 + 10 (4) - 30$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $10$ في $4$ .

$f (4) = - 16 + 40 - 30$

خطوة 2.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أضف $- 16$ و $40$ .

$f (4) = 24 - 30$

خطوة 2.2.2.2

اطرح $30$ من $24$ .

$f (4) = - 6$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = 4$ تساوي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $3$ في العبارة.

$f (3) = - {(3)}^{2} + 10 (3) - 30$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$f (3) = - 1 \cdot 9 + 10 (3) - 30$

خطوة 2.5.1.2

اضرب $- 1$ في $9$ .

$f (3) = - 9 + 10 (3) - 30$

خطوة 2.5.1.3

اضرب $10$ في $3$ .

$f (3) = - 9 + 30 - 30$

خطوة 2.5.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أضف $- 9$ و $30$ .

$f (3) = 21 - 30$

خطوة 2.5.2.2

اطرح $30$ من $21$ .

$f (3) = - 9$

خطوة 2.5.3

الإجابة النهائية هي $- 9$ .

$- 9$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = 3$ تساوي $- 9$ .

$y = - 9$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $6$ في العبارة.

$f (6) = - {(6)}^{2} + 10 (6) - 30$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $6$ إلى القوة $2$ .

$f (6) = - 1 \cdot 36 + 10 (6) - 30$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $- 1$ في $36$ .

$f (6) = - 36 + 10 (6) - 30$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $10$ في $6$ .

$f (6) = - 36 + 60 - 30$

خطوة 2.8.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.2.1

أضف $- 36$ و $60$ .

$f (6) = 24 - 30$

خطوة 2.8.2.2

اطرح $30$ من $24$ .

$f (6) = - 6$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $- 6$ .

$- 6$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 6$ تساوي $- 6$ .

$y = - 6$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $7$ في العبارة.

$f (7) = - {(7)}^{2} + 10 (7) - 30$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1.1

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$f (7) = - 1 \cdot 49 + 10 (7) - 30$

خطوة 2.11.1.2

اضرب $- 1$ في $49$ .

$f (7) = - 49 + 10 (7) - 30$

خطوة 2.11.1.3

اضرب $10$ في $7$ .

$f (7) = - 49 + 70 - 30$

خطوة 2.11.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.2.1

أضف $- 49$ و $70$ .

$f (7) = 21 - 30$

خطوة 2.11.2.2

اطرح $30$ من $21$ .

$f (7) = - 9$

خطوة 2.11.3

الإجابة النهائية هي $- 9$ .

$- 9$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 7$ تساوي $- 9$ .

$y = - 9$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 9 \\ 4 & - 6 \\ 5 & - 5 \\ 6 & - 6 \\ 7 & - 9 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(5, - 5)$

البؤرة: $(5, - \frac{21}{4})$

محور التناظر: $x = 5$

الدليل: $y = - \frac{19}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 3 & - 9 \\ 4 & - 6 \\ 5 & - 5 \\ 6 & - 6 \\ 7 & - 9 \end{array}$

خطوة 4