ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = - 2 \cos (\frac{2}{3} x)$

خطوة 1

استخدِم الصيغة $a \cos (b x - c) + d$ لإيجاد المتغيرات المُستخدمة لإيجاد السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي.

$a = - 2$

$b = \frac{2}{3}$

$c = 0$

$d = 0$

خطوة 2

أوجِد السعة $| a |$ .

السعة: $2$

خطوة 3

أوجِد فترة $- 2 \cos (\frac{2 x}{3})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 3.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{2}{3}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{2}{3} |}$

خطوة 3.3

$\frac{2}{3}$ تساوي تقريبًا $0.\overline{6}$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{2}{3}}$

خطوة 3.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \frac{3}{2}$

خطوة 3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 π$ .

$2 (π) \frac{3}{2}$

خطوة 3.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$2 π \frac{3}{2}$

خطوة 3.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$π \cdot 3$

خطوة 3.6

انقُل $3$ إلى يسار $π$ .

$3 π$

خطوة 4

أوجِد إزاحة الطور باستخدام القاعدة $\frac{c}{b}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

يمكن حساب إزاحة الطور للدالة من $\frac{c}{b}$ .

إزاحة الطور: $\frac{c}{b}$

خطوة 4.2

استبدِل قيم $c$ و $b$ في المعادلة لإزاحة الطور.

إزاحة الطور: $\frac{0}{\frac{2}{3}}$

خطوة 4.3

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

إزاحة الطور: $0 (\frac{3}{2})$

خطوة 4.4

اضرب $0$ في $\frac{3}{2}$ .

إزاحة الطور: $0$

خطوة 5

اسرِد خصائص الدالة المثلثية.

السعة: $2$

الفترة: $3 π$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

خطوة 6

حدد بضع نقاط لتمثيلها بيانيًا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

أوجِد النقطة في $x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0$ في العبارة.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 (0)}{3})$

خطوة 6.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.1

أخرِج العامل $3$ من $2 (0)$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3})$

خطوة 6.1.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.2.1.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 (1)})$

خطوة 6.1.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{3 (2 \cdot (0))}{3 \cdot 1})$

خطوة 6.1.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (0) = - 2 \cos (\frac{2 \cdot (0)}{1})$

خطوة 6.1.2.1.2.4

اقسِم $2 \cdot (0)$ على $1$ .

$f (0) = - 2 \cos (2 \cdot (0))$

خطوة 6.1.2.2

اضرب $2$ في $0$ .

$f (0) = - 2 \cos (0)$

خطوة 6.1.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (0) = - 2 \cdot 1$

خطوة 6.1.2.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (0) = - 2$

خطوة 6.1.2.5

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 6.2

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{4})}{3})$

خطوة 6.2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اجمع $2$ و $\frac{3 π}{4}$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.2.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{4}}{3})$

خطوة 6.2.2.3

اختزِل العبارة $\frac{6 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.2.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (2)}}{3})$

خطوة 6.2.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

خطوة 6.2.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{2}}{3})$

خطوة 6.2.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.2.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.2.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

خطوة 6.2.2.7

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

خطوة 6.2.2.8

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.3

أوجِد النقطة في $x = \frac{3 π}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{3 π}{2}$ في العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{3 π}{2})}{3})$

خطوة 6.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.1

اجمع $2$ و $\frac{3 π}{2}$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

خطوة 6.3.2.2

اضرب $2$ في $3$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{6 π}{2}}{3})$

خطوة 6.3.2.3

اختزِل العبارة بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1

اختزِل العبارة $\frac{6 π}{2}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.3.1.1

أخرِج العامل $2$ من $6 π$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.1.2

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 (1)}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.1.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 1}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.1.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{\frac{3 π}{1}}{3})$

خطوة 6.3.2.3.2

اقسِم $3 π$ على $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{3})$

خطوة 6.3.2.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cos (π)$

خطوة 6.3.2.5

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول. اجعل العبارة سالبة لأن جيب التمام سالب في الربع الثاني.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- \cos (0))$

خطوة 6.3.2.6

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 (- 1 \cdot 1)$

خطوة 6.3.2.7

اضرب $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.2.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 2 \cdot - 1$

خطوة 6.3.2.7.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 2$

خطوة 6.3.2.8

الإجابة النهائية هي $2$ .

$2$

خطوة 6.4

أوجِد النقطة في $x = \frac{9 π}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $\frac{9 π}{4}$ في العبارة.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{2 (\frac{9 π}{4})}{3})$

خطوة 6.4.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.1

اجمع $2$ و $\frac{9 π}{4}$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.4.2.2

اضرب $2$ في $9$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{18 π}{4}}{3})$

خطوة 6.4.2.3

اختزِل العبارة $\frac{18 π}{4}$ بحذف العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $18 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{4}}{3})$

خطوة 6.4.2.3.2

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 (2)}}{3})$

خطوة 6.4.2.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{2 (9 π)}{2 \cdot 2}}{3})$

خطوة 6.4.2.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{\frac{9 π}{2}}{3})$

خطوة 6.4.2.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{9 π}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.2.5.1

أخرِج العامل $3$ من $9 π$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.5.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 (3 π)}{2} \cdot \frac{1}{3})$

خطوة 6.4.2.5.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{3 π}{2})$

خطوة 6.4.2.6

طبّق زاوية المرجع بإيجاد الزاوية ذات القيم المثلثية المكافئة في الربع الأول.

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cos (\frac{π}{2})$

خطوة 6.4.2.7

القيمة الدقيقة لـ $\cos (\frac{π}{2})$ هي $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = - 2 \cdot 0$

خطوة 6.4.2.8

اضرب $- 2$ في $0$ .

$f (\frac{9 π}{4}) = 0$

خطوة 6.4.2.9

الإجابة النهائية هي $0$ .

$0$

خطوة 6.5

أوجِد النقطة في $x = 3 π$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $3 π$ في العبارة.

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

خطوة 6.5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (3 π) = - 2 \cos (\frac{2 (3 π)}{3})$

خطوة 6.5.2.1.2

اقسِم $2 (π)$ على $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (2 (π))$

خطوة 6.5.2.2

اطرح الدورات الكاملة البالغة $2 π$ حتى تصبح الزاوية أكبر من أو تساوي $0$ وأصغر من $2 π$ .

$f (3 π) = - 2 \cos (0)$

خطوة 6.5.2.3

القيمة الدقيقة لـ $\cos (0)$ هي $1$ .

$f (3 π) = - 2 \cdot 1$

خطوة 6.5.2.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f (3 π) = - 2$

خطوة 6.5.2.5

الإجابة النهائية هي $- 2$ .

$- 2$

خطوة 6.6

اسرِد النقاط في جدول.

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

خطوة 7

يمكن تمثيل الدالة المثلثية بيانيًا باستخدام السعة والفترة وإزاحة الطور والتحريك العمودي والنقاط.

السعة: $2$

الفترة: $3 π$

إزاحة الطور: لا يوجد

الإزاحة الرأسية: لا توجد

$\begin{array}{c} x & f (x) \\ 0 & - 2 \\ \frac{3 π}{4} & 0 \\ \frac{3 π}{2} & 2 \\ \frac{9 π}{4} & 0 \\ 3 π & - 2 \end{array}$

خطوة 8