ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

خطوة 1

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بسّط $- \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

أعِد الكتابة.

$y - 5 = 0 + 0 - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2}$

خطوة 1.1.2

أعِد كتابة ${(x - 3)}^{2}$ بالصيغة $(x - 3) (x - 3)$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot ((x - 3) (x - 3))$

خطوة 1.1.3

وسّع $(x - 3) (x - 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x (x - 3) - 3 (x - 3))$

خطوة 1.1.3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))$

خطوة 1.1.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

خطوة 1.1.4

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)$

خطوة 1.1.4.1.2

انقُل $- 3$ إلى يسار $x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)$

خطوة 1.1.4.1.3

اضرب $- 3$ في $- 3$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)$

خطوة 1.1.4.2

اطرح $3 x$ من $- 3 x$ .

$y - 5 = - \frac{1}{2} \cdot (x^{2} - 6 x + 9)$

خطوة 1.1.5

طبّق خاصية التوزيع.

$y - 5 = - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

خطوة 1.1.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

خطوة 1.1.6.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.2.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{1}{2}$ إلى بسط الكسر.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (- 6 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

خطوة 1.1.6.2.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

خطوة 1.1.6.2.3

ألغِ العامل المشترك.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (- 3 x)) - \frac{1}{2} \cdot 9$

خطوة 1.1.6.2.4

أعِد كتابة العبارة.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} - 1 (- 3 x) - \frac{1}{2} \cdot 9$

خطوة 1.1.6.3

اضرب $- 3$ في $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{1}{2} \cdot 9$

خطوة 1.1.6.4

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.6.4.1

اضرب $9$ في $- 1$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - 9 (\frac{1}{2})$

خطوة 1.1.6.4.2

اجمع $- 9$ و $\frac{1}{2}$ .

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9}{2}$

خطوة 1.1.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$y - 5 = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2}$

خطوة 1.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5$

خطوة 1.2.2

لكتابة $5$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}$

خطوة 1.2.3

اجمع $5$ و $\frac{2}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x - \frac{9}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}$

خطوة 1.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 5 \cdot 2}{2}$

خطوة 1.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.5.1

اضرب $5$ في $2$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{- 9 + 10}{2}$

خطوة 1.2.5.2

أضف $- 9$ و $10$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$

خطوة 2

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

أكمل المربع لـ $- \frac{x^{2}}{2} + 3 x + \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 3$

$c = \frac{1}{2}$

خطوة 2.1.1.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 2.1.1.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{3}{2 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.3.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$d = \frac{3}{- 2 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.3.2.1.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{\frac{- 2}{2}}$

خطوة 2.1.1.3.2.2

اقسِم $- 2$ على $2$ .

$d = \frac{3}{- 1}$

خطوة 2.1.1.3.2.3

اقسِم $3$ على $- 1$ .

$d = - 3$

خطوة 2.1.1.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{3^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{4 (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{2}$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{\frac{- 4}{2}}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.3

اقسِم $- 4$ على $2$ .

$e = \frac{1}{2} - \frac{9}{- 2}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$e = \frac{1}{2} - - \frac{9}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.1.5

اضرب $- - \frac{9}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1.4.2.1.5.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$e = \frac{1}{2} + 1 (\frac{9}{2})$

خطوة 2.1.1.4.2.1.5.2

اضرب $\frac{9}{2}$ في $1$ .

$e = \frac{1}{2} + \frac{9}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$e = \frac{1 + 9}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.3

أضف $1$ و $9$ .

$e = \frac{10}{2}$

خطوة 2.1.1.4.2.4

اقسِم $10$ على $2$ .

$e = 5$

خطوة 2.1.1.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$ .

$- \frac{1}{2} {(x - 3)}^{2} + 5$

خطوة 2.1.2

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 3)}^{2} + 5$

خطوة 2.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 3$

$k = 5$

خطوة 2.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 2.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(3, 5)$

خطوة 2.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 2.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

خطوة 2.5.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

خطوة 2.5.3.3

اقسِم $4$ على $2$ .

$- \frac{1}{2}$

خطوة 2.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 2.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(3, \frac{9}{2})$

خطوة 2.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 3$

خطوة 2.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 2.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = \frac{11}{2}$

خطوة 2.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(3, 5)$

البؤرة: $(3, \frac{9}{2})$

محور التناظر: $x = 3$

الدليل: $y = \frac{11}{2}$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(3, 5)$

البؤرة: $(3, \frac{9}{2})$

محور التناظر: $x = 3$

الدليل: $y = \frac{11}{2}$

خطوة 3

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{2} + 3 (1) + \frac{1}{2}$

خطوة 3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- {(1)}^{2} + 1}{2}$

خطوة 3.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 \cdot 1 + 1}{2}$

خطوة 3.2.2.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{- 1 + 1}{2}$

خطوة 3.2.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (1) = 3 (1) + \frac{0}{2}$

خطوة 3.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

اضرب $3$ في $1$ .

$f (1) = 3 + \frac{0}{2}$

خطوة 3.2.4.2

اقسِم $0$ على $2$ .

$f (1) = 3 + 0$

خطوة 3.2.5

أضف $3$ و $0$ .

$f (1) = 3$

خطوة 3.2.6

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 3.3

قيمة $y$ عند $x = 1$ تساوي $3$ .

$y = 3$

خطوة 3.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{2} + 3 (2) + \frac{1}{2}$

خطوة 3.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = 3 (2) + \frac{- {(2)}^{2} + 1}{2}$

خطوة 3.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 1 \cdot 4 + 1}{2}$

خطوة 3.5.2.2

اضرب $- 1$ في $4$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 4 + 1}{2}$

خطوة 3.5.3

أضف $- 4$ و $1$ .

$f (2) = 3 (2) + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.5.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.4.1

اضرب $3$ في $2$ .

$f (2) = 6 + \frac{- 3}{2}$

خطوة 3.5.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (2) = 6 - \frac{3}{2}$

خطوة 3.5.5

لكتابة $6$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = 6 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 3.5.6

اجمع $6$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (2) = \frac{6 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

خطوة 3.5.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (2) = \frac{6 \cdot 2 - 3}{2}$

خطوة 3.5.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.8.1

اضرب $6$ في $2$ .

$f (2) = \frac{12 - 3}{2}$

خطوة 3.5.8.2

اطرح $3$ من $12$ .

$f (2) = \frac{9}{2}$

خطوة 3.5.9

الإجابة النهائية هي $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 3.6

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

خطوة 3.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $5$ في العبارة.

$f (5) = - \frac{{(5)}^{2}}{2} + 3 (5) + \frac{1}{2}$

خطوة 3.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (5) = 3 (5) + \frac{- {(5)}^{2} + 1}{2}$

خطوة 3.8.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.2.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 1 \cdot 25 + 1}{2}$

خطوة 3.8.2.2

اضرب $- 1$ في $25$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 25 + 1}{2}$

خطوة 3.8.3

أضف $- 25$ و $1$ .

$f (5) = 3 (5) + \frac{- 24}{2}$

خطوة 3.8.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.4.1

اضرب $3$ في $5$ .

$f (5) = 15 + \frac{- 24}{2}$

خطوة 3.8.4.2

اقسِم $- 24$ على $2$ .

$f (5) = 15 - 12$

خطوة 3.8.5

اطرح $12$ من $15$ .

$f (5) = 3$

خطوة 3.8.6

الإجابة النهائية هي $3$ .

$3$

خطوة 3.9

قيمة $y$ عند $x = 5$ تساوي $3$ .

$y = 3$

خطوة 3.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $4$ في العبارة.

$f (4) = - \frac{{(4)}^{2}}{2} + 3 (4) + \frac{1}{2}$

خطوة 3.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = 3 (4) + \frac{- {(4)}^{2} + 1}{2}$

خطوة 3.11.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 1 \cdot 16 + 1}{2}$

خطوة 3.11.2.2

اضرب $- 1$ في $16$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 16 + 1}{2}$

خطوة 3.11.3

أضف $- 16$ و $1$ .

$f (4) = 3 (4) + \frac{- 15}{2}$

خطوة 3.11.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.4.1

اضرب $3$ في $4$ .

$f (4) = 12 + \frac{- 15}{2}$

خطوة 3.11.4.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$f (4) = 12 - \frac{15}{2}$

خطوة 3.11.5

لكتابة $12$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = 12 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

خطوة 3.11.6

اجمع $12$ و $\frac{2}{2}$ .

$f (4) = \frac{12 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

خطوة 3.11.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (4) = \frac{12 \cdot 2 - 15}{2}$

خطوة 3.11.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.8.1

اضرب $12$ في $2$ .

$f (4) = \frac{24 - 15}{2}$

خطوة 3.11.8.2

اطرح $15$ من $24$ .

$f (4) = \frac{9}{2}$

خطوة 3.11.9

الإجابة النهائية هي $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

خطوة 3.12

قيمة $y$ عند $x = 4$ تساوي $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{9}{2}$

خطوة 3.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

خطوة 4

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(3, 5)$

البؤرة: $(3, \frac{9}{2})$

محور التناظر: $x = 3$

الدليل: $y = \frac{11}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 3 \\ 2 & \frac{9}{2} \\ 3 & 5 \\ 4 & \frac{9}{2} \\ 5 & 3 \end{array}$

خطوة 5