ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 16 - \frac{1}{4} x^{2}$

خطوة 1

أوجِد خصائص القطع المكافئ المحدد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة المعادلة بصيغة الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

بسّط $16 - \frac{1}{4} x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1.1

اجمع $x^{2}$ و $\frac{1}{4}$ .

$y = 16 - \frac{x^{2}}{4}$

خطوة 1.1.1.2

أعِد ترتيب $16$ و $- \frac{x^{2}}{4}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{4} + 16$

خطوة 1.1.2

أكمل المربع لـ $- \frac{x^{2}}{4} + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$b = 0$

$c = 16$

خطوة 1.1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $0$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.1.2.3.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{4}}$

خطوة 1.1.2.3.2.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$d = 0 (- 1 \cdot 4)$

خطوة 1.1.2.3.2.3

اضرب $0 (- 1 \cdot 4)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.3.2.3.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$d = 0 \cdot - 4$

خطوة 1.1.2.3.2.3.2

اضرب $0$ في $- 4$ .

$d = 0$

خطوة 1.1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 16 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1.1

ينتج $0$ عن رفع $0$ إلى أي قوة موجبة.

$e = 16 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.2

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.4.2.1.2.1

اضرب $- 1$ في $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{4})}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.2.2

اجمع $- 4$ و $\frac{1}{4}$ .

$e = 16 - \frac{0}{\frac{- 4}{4}}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.3

اقسِم $- 4$ على $4$ .

$e = 16 - \frac{0}{- 1}$

خطوة 1.1.2.4.2.1.4

اقسِم $0$ على $- 1$ .

$e = 16 - 0$

خطوة 1.1.2.4.2.1.5

اضرب $- 1$ في $0$ .

$e = 16 + 0$

خطوة 1.1.2.4.2.2

أضف $16$ و $0$ .

$e = 16$

خطوة 1.1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$ .

$- \frac{1}{4} {(x + 0)}^{2} + 16$

خطوة 1.1.3

عيّن قيمة $y$ لتصبح مساوية للطرف الأيمن الجديد.

$y = - \frac{1}{4} \cdot {(x + 0)}^{2} + 16$

خطوة 1.2

استخدِم صيغة الرأس، $y = a {(x - h)}^{2} + k$ ، لتحديد قيم $a$ و $h$ و $k$ .

$a = - \frac{1}{4}$

$h = 0$

$k = 16$

خطوة 1.3

بما أن قيمة $a$ سالبة، إذن القطع المكافئ مفتوح إلى أسفل.

مفتوح إلى أسفل

خطوة 1.4

أوجِد الرأس $(h, k)$ .

$(0, 16)$

خطوة 1.5

أوجِد $p$ ، المسافة من الرأس إلى البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

أوجِد المسافة من الرأس إلى بؤرة القطع المكافئ باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{1}{4 a}$

خطوة 1.5.2

عوّض بقيمة $a$ في القاعدة.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

احذِف العامل المشترك لـ $1$ و $- 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1.1

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{4})}$

خطوة 1.5.3.1.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{4})}$

خطوة 1.5.3.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{4}}$

خطوة 1.5.3.3

اقسِم $4$ على $4$ .

$- \frac{1}{1}$

خطوة 1.5.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{1}{1}$

خطوة 1.5.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$- 1 \cdot 1$

خطوة 1.5.3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$- 1$

خطوة 1.6

أوجِد البؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

يمكن إيجاد بؤرة القطع المكافئ بجمع $p$ مع الإحداثي الصادي $k$ إذا كان القطع المكافئ مفتوحًا إلى أعلى أو إلى أسفل.

$(h, k + p)$

خطوة 1.6.2

عوّض بقيم $h$ و $p$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, 15)$

خطوة 1.7

أوجِد محور التناظر بإيجاد الخط الذي يمر عبر الرأس والبؤرة.

$x = 0$

خطوة 1.8

أوجِد الدليل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

دليل القطع المكافئ هو الخط الأفقي الذي يمكن إيجاده بطرح $p$ من الإحداثي الصادي $k$ للرأس إذا كان القطع المكافئ مفتوح إلى أعلى أو إلى أسفل.

$y = k - p$

خطوة 1.8.2

عوّض بقيمتَي $p$ و $k$ المعروفتين في القاعدة وبسّط.

$y = 17$

خطوة 1.9

استخدِم خصائص القطع المكافئ لتحليل القطع المكافئ وتمثيله بيانيًا.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(0, 16)$

البؤرة: $(0, 15)$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = 17$

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(0, 16)$

البؤرة: $(0, 15)$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = 17$

خطوة 2

حدد بعض قيم $x$ ، وعوّض بها في المعادلة لإيجاد قيم $y$ المناظرة. يجب تحديد قيم $x$ حول الرأس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 2$ في العبارة.

$f (- 2) = - \frac{{(- 2)}^{2}}{4} + 16$

خطوة 2.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

خطوة 2.2.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (- 2) = - \frac{4}{4} + 16$

خطوة 2.2.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (- 2) = - 1 \cdot 1 + 16$

خطوة 2.2.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (- 2) = - 1 + 16$

خطوة 2.2.2

أضف $- 1$ و $16$ .

$f (- 2) = 15$

خطوة 2.2.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 2.3

قيمة $y$ عند $x = - 2$ تساوي $15$ .

$y = 15$

خطوة 2.4

استبدِل المتغير $x$ بـ $- 1$ في العبارة.

$f (- 1) = - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} + 16$

خطوة 2.5

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16$

خطوة 2.5.2

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.5.3

اجمع $16$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.5.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.5.1

اضرب $16$ في $4$ .

$f (- 1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

خطوة 2.5.5.2

أضف $- 1$ و $64$ .

$f (- 1) = \frac{63}{4}$

خطوة 2.5.6

الإجابة النهائية هي $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

خطوة 2.6

قيمة $y$ عند $x = - 1$ تساوي $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

خطوة 2.7

استبدِل المتغير $x$ بـ $2$ في العبارة.

$f (2) = - \frac{{(2)}^{2}}{4} + 16$

خطوة 2.8

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

خطوة 2.8.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (2) = - \frac{4}{4} + 16$

خطوة 2.8.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (2) = - 1 \cdot 1 + 16$

خطوة 2.8.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$f (2) = - 1 + 16$

خطوة 2.8.2

أضف $- 1$ و $16$ .

$f (2) = 15$

خطوة 2.8.3

الإجابة النهائية هي $15$ .

$15$

خطوة 2.9

قيمة $y$ عند $x = 2$ تساوي $15$ .

$y = 15$

خطوة 2.10

استبدِل المتغير $x$ بـ $1$ في العبارة.

$f (1) = - \frac{{(1)}^{2}}{4} + 16$

خطوة 2.11

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16$

خطوة 2.11.2

لكتابة $16$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + 16 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 2.11.3

اجمع $16$ و $\frac{4}{4}$ .

$f (1) = - \frac{1}{4} + \frac{16 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.11.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (1) = \frac{- 1 + 16 \cdot 4}{4}$

خطوة 2.11.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.11.5.1

اضرب $16$ في $4$ .

$f (1) = \frac{- 1 + 64}{4}$

خطوة 2.11.5.2

أضف $- 1$ و $64$ .

$f (1) = \frac{63}{4}$

خطوة 2.11.6

الإجابة النهائية هي $\frac{63}{4}$ .

$\frac{63}{4}$

خطوة 2.12

قيمة $y$ عند $x = 1$ تساوي $\frac{63}{4}$ .

$y = \frac{63}{4}$

خطوة 2.13

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

خطوة 3

مثّل القطع المكافئ بيانيًا باستخدام خصائصه والنقاط المحددة.

الاتجاه: مفتوح للأسفل

الرأس: $(0, 16)$

البؤرة: $(0, 15)$

محور التناظر: $x = 0$

الدليل: $y = 17$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 15 \\ - 1 & \frac{63}{4} \\ 0 & 16 \\ 1 & \frac{63}{4} \\ 2 & 15 \end{array}$

خطوة 4