ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$

خطوة 1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{x^{4} - 16 x^{2}}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$x^{4} - 16 x^{2} \geq 0$

خطوة 2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$x^{4} - 16 x^{2} = 0$

خطوة 2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4} - 16 x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 16 x^{2} = 0$

خطوة 2.2.1.2

أخرِج العامل $x^{2}$ من $- 16 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16 = 0$

خطوة 2.2.1.3

أخرِج العامل $x^{2}$ من $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 16$ .

$x^{2} (x^{2} - 16) = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4^{2}) = 0$

خطوة 2.2.3

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.3.1

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 4$ .

$x^{2} ((x + 4) (x - 4)) = 0$

خطوة 2.2.3.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$

خطوة 2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 2.4

عيّن قيمة العبارة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

عيّن قيمة $x^{2}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} = 0$

خطوة 2.4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

خطوة 2.4.2.2

بسّط $\pm \sqrt{0}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.2.1

أعِد كتابة $0$ بالصيغة $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

خطوة 2.4.2.2.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm 0$

خطوة 2.4.2.2.3

زائد أو ناقص $0$ يساوي $0$ .

$x = 0$

خطوة 2.5

عيّن قيمة العبارة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

عيّن قيمة $x + 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 4 = 0$

خطوة 2.5.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 2.6

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.6.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.7

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x^{2} (x + 4) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 4, 4$

خطوة 2.8

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 4$

$- 4 < x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 2.9

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 2.9.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

${(- 6)}^{4} - 16 {(- 6)}^{2} \geq 0$

خطوة 2.9.1.3

الطرف الأيسر $720$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 2.9.2

اختبر قيمة في الفترة $- 4 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 4 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 2.9.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

${(- 2)}^{4} - 16 {(- 2)}^{2} \geq 0$

خطوة 2.9.2.3

الطرف الأيسر $- 48$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 2.9.3

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.3.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 2$

خطوة 2.9.3.2

استبدِل $x$ بـ $2$ في المتباينة الأصلية.

${(2)}^{4} - 16 {(2)}^{2} \geq 0$

خطوة 2.9.3.3

الطرف الأيسر $- 48$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 2.9.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.9.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 2.9.4.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

${(6)}^{4} - 16 {(6)}^{2} \geq 0$

خطوة 2.9.4.3

الطرف الأيسر $720$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 2.9.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 4$ صحيحة

$- 4 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ خطأ

$x > 4$ صحيحة

$x < - 4$ صحيحة

$- 4 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 4$ خطأ

$x > 4$ صحيحة

خطوة 2.10

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$x \leq - 4$ أو $x \geq 4$ أو $x = 0$

خطوة 2.11

اجمع الفترات.

$x \leq - 4 or x = 0 or x \geq 4$

خطوة 3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

ترميز الفترة:

$(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

خطوة 4

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[0, \infty)$

ترميز بناء المجموعات:

${y | y \geq 0}$

خطوة 5

حدد النطاق والمدى.

النطاق: $(- \infty, - 4] \cup [0, 0] \cup [4, \infty), {x | x \leq - 4, x \geq 4, x = 0}$

المدى: $[0, \infty), {y | y \geq 0}$

خطوة 6