ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ في صورة معادلة.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

خطوة 3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

خطوة 3.2.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

انقُل $3$ إلى يسار $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

خطوة 3.2.3.2

اضرب $2$ في $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

خطوة 3.3

لإيجاد قيمة $y$ ، أعِد كتابة المعادلة باستخدام خصائص اللوغاريتمات.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

خطوة 3.4

أعِد كتابة $\ln (3 y + 6) = x$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

خطوة 3.5

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

خطوة 3.5.2

اطرح $6$ من كلا المتعادلين.

$3 y = e^{x} - 6$

خطوة 3.5.3

اقسِم كل حد في $3 y = e^{x} - 6$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.1

اقسِم كل حد في $3 y = e^{x} - 6$ على $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

خطوة 3.5.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

خطوة 3.5.3.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

خطوة 3.5.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.3.3.1

اقسِم $- 6$ على $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ هي معكوس $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

خطوة 5.2.3

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

خطوة 5.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.1.3

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.1.4

اضرب $2$ في $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1.5.1

أخرِج العامل $3$ من $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.1.5.2

أخرِج العامل $3$ من $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.1.5.3

أخرِج العامل $3$ من $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.2

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

خطوة 5.2.4.2.2

اقسِم $x + 2$ على $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

خطوة 5.2.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 2 - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.5.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

خطوة 5.2.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

خطوة 5.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

خطوة 5.3.3.2

أضف $\frac{e^{x}}{3}$ و $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

خطوة 5.3.4

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

خطوة 5.3.5

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

خطوة 5.3.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

خطوة 5.3.6

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x$ خارج الأُس.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

خطوة 5.3.7

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

خطوة 5.3.8

اضرب $x$ في $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ هي معكوس $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$