ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ في صورة معادلة.

$y = 3^{x + 1} - 2$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 3^{y + 1} - 2$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

خطوة 3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$3^{y + 1} = x + 2$

خطوة 3.3

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

خطوة 3.4

وسّع $\ln (3^{y + 1})$ بنقل $y + 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

خطوة 3.5

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

بسّط $(y + 1) \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

خطوة 3.5.1.2

اضرب $\ln (3)$ في $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

خطوة 3.6

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

خطوة 3.7

استخدِم خاصية القسمة في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

خطوة 3.8

اطرح $\ln (\frac{3}{x + 2})$ من كلا المتعادلين.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

خطوة 3.9

اقسِم كل حد في $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ على $\ln (3)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

اقسِم كل حد في $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ على $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

خطوة 3.9.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

خطوة 3.9.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

خطوة 3.9.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ هي معكوس $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أضف $- 2$ و $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.3.2

أضف $3^{x + 1}$ و $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

خطوة 5.3.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

خطوة 5.3.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ هي معكوس $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$