ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3^{x - 1}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 3^{x - 1}$ في صورة معادلة.

$y = 3^{x - 1}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 3^{y - 1}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3^{y - 1} = x$ .

$3^{y - 1} = x$

خطوة 3.2

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (3^{y - 1}) = \ln (x)$

خطوة 3.3

وسّع $\ln (3^{y - 1})$ بنقل $y - 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y - 1) \ln (3) = \ln (x)$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط $(y - 1) \ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$y \ln (3) - 1 \ln (3) = \ln (x)$

خطوة 3.4.1.2

أعِد كتابة $- 1 \ln (3)$ بالصيغة $- \ln (3)$ .

$y \ln (3) - \ln (3) = \ln (x)$

خطوة 3.5

انقُل كل الحدود التي تحتوي على لوغاريتم إلى المتعادل الأيسر.

$y \ln (3) - \ln (3) - \ln (x) = 0$

خطوة 3.6

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $\ln (3)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (3) - \ln (x) = \ln (3)$

خطوة 3.6.2

أضف $\ln (x)$ إلى كلا المتعادلين.

$y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$

خطوة 3.7

اقسِم كل حد في $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ على $\ln (3)$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اقسِم كل حد في $y \ln (3) = \ln (3) + \ln (x)$ على $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

خطوة 3.7.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

خطوة 3.7.2.1.2

اقسِم $y$ على $1$ .

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

خطوة 3.7.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.3.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{\ln (3)}{\ln (3)} + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

خطوة 3.7.3.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$y = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

خطوة 4

استبدِل $y$ بـ $f^{- 1} (x)$ لعرض الإجابة النهائية.

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ هي معكوس $f (x) = 3^{x - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} \cdot 3^{x - 1}$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{\ln (3^{x - 1})}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

وسّع $\ln (3^{x - 1})$ بنقل $x - 1$ خارج اللوغاريتم.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $\ln (3)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + \frac{(x - 1) \ln (3)}{\ln (3)}$

خطوة 5.2.3.2.2

اقسِم $x - 1$ على $1$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = 1 + x - 1$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $1 + x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} \cdot 3^{x - 1} = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)})$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1}$

خطوة 5.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $(1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{0 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

خطوة 5.3.3.2

أضف $0$ و $\frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\frac{\ln (x)}{\ln (3)}}$

خطوة 5.3.4

استخدِم قاعدة تغيير الأساس $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = 3^{\log_{3} (x)}$

خطوة 5.3.5

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$ هي معكوس $f (x) = 3^{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = 1 + \frac{\ln (x)}{\ln (3)}$