ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 3$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 3$ إلى القوة $4$ .

$81 - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 3$ إلى القوة $3$ .

$81 - - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 1$ في $- 27$ .

$81 + 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

خطوة 4.1.4

ارفع $- 3$ إلى القوة $2$ .

$81 + 27 - 11 \cdot 9 - (- 3) - 12$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 11$ في $9$ .

$81 + 27 - 99 - (- 3) - 12$

خطوة 4.1.6

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$81 + 27 - 99 + 3 - 12$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $81$ و $27$ .

$108 - 99 + 3 - 12$

خطوة 4.2.2

اطرح $99$ من $108$ .

$9 + 3 - 12$

خطوة 4.2.3

أضف $9$ و $3$ .

$12 - 12$

خطوة 4.2.4

اطرح $12$ من $12$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 3$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12}{x + 3}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 3)$ وضَع نتيجة $(- 3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(- 3)$ وضَع نتيجة $(12)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 11)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 3)$ وضَع نتيجة $(- 3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(- 3)$ وضَع نتيجة $(12)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 12)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 3) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 3) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x + 3) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 4$ .

$(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 1)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد تجميع الحدود.

$- x^{3} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{3} - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 1 + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x^{2}) - x (1)$ .

$- x (x^{2} + 1) + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 12 = 0$

خطوة 9.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + u^{2} - 11 u - 12 = 0$

خطوة 9.5

حلّل $u^{2} - 11 u - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 12$ ومجموعهما $- 11$ .

$- 12, 1$

خطوة 9.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- x (x^{2} + 1) + (u - 12) (u + 1) = 0$

خطوة 9.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

خطوة 9.7

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $- x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

خطوة 9.7.2

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12) = 0$

خطوة 9.7.3

أخرِج العامل $x^{2} + 1$ من $(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} + 1) (- x + x^{2} - 12) = 0$

خطوة 9.8

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x^{2} + 1) (- u + u^{2} - 12) = 0$

خطوة 9.9

حلّل $- u + u^{2} - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 12$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 4, 3$

خطوة 9.9.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x^{2} + 1) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

خطوة 9.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

خطوة 9.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 1$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

خطوة 11.2.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i$

خطوة 11.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i$

خطوة 11.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i$

خطوة 11.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i, - i$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 12.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 13.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ صحيحة.

$x = i, - i, 4, - 3$

خطوة 15