ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

خطوة 4.1.2

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

خطوة 4.1.4

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

خطوة 4.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

خطوة 4.1.6

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

خطوة 4.1.7

اضرب $- 12$ في $1$ .

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

خطوة 4.2.2

اطرح $1$ من $0$ .

$- 1 + 1 - 12 + 12$

خطوة 4.2.3

أضف $- 1$ و $1$ .

$0 - 12 + 12$

خطوة 4.2.4

اطرح $12$ من $0$ .

$- 12 + 12$

خطوة 4.2.5

أضف $- 12$ و $12$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

خطوة 6.11

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 12)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(- 12)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

خطوة 6.12

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

خطوة 6.13

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

خطوة 6.14

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{4} - x^{2} - 12$

خطوة 7

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

خطوة 8

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

خطوة 9

حلّل $u^{2} - u - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 12$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 4, 3$

خطوة 9.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

خطوة 10

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

خطوة 11

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

خطوة 12

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

خطوة 13

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أعِد تجميع الحدود.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.2

أخرِج العامل $x$ من $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.2.2

أخرِج العامل $x$ من $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.2.3

أخرِج العامل $x$ من $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.2.4

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.2.5

أخرِج العامل $x$ من $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.5

حلّل $u^{2} - u - 12$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.5.1

$- 4, 3$

خطوة 13.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.8

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.8.1

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.8.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.9

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

خطوة 13.10

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

خطوة 13.11

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.11.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ ومجموعهما $b = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.11.1.1

اضرب في $1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

خطوة 13.11.1.2

أعِد كتابة $1$ في صورة $- 3$ زائد $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

خطوة 13.11.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

خطوة 13.11.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.11.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

خطوة 13.11.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

خطوة 13.11.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- u - 3$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

خطوة 13.12

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

خطوة 13.13

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

خطوة 13.14

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.14.1

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

خطوة 13.14.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

خطوة 13.15

أخرِج العامل $(x + 2) (x - 2)$ من $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.15.1

أخرِج العامل $(x + 2) (x - 2)$ من $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

خطوة 13.15.2

أخرِج العامل $(x + 2) (x - 2)$ من $(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

خطوة 13.15.3

أخرِج العامل $(x + 2) (x - 2)$ من $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

خطوة 13.16

طبّق خاصية التوزيع.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

خطوة 13.17

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.17.1

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.17.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

خطوة 13.17.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

خطوة 13.17.2

أضف $1$ و $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

خطوة 13.18

انقُل $3$ إلى يسار $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

خطوة 13.19

أعِد ترتيب الحدود.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

خطوة 13.20

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.20.1

أعِد كتابة $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ بصيغة محلّلة إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.20.1.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.20.1.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

خطوة 13.20.1.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

خطوة 13.20.1.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

خطوة 13.20.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

خطوة 14

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

خطوة 15

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 15.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 16

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 16.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 17

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 17.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 17.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 18

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

عيّن قيمة $x^{2} + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

خطوة 18.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 3$

خطوة 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

خطوة 18.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.3.1

أعِد كتابة $- 3$ بالصيغة $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

خطوة 18.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (3)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

خطوة 18.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

خطوة 18.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = i \sqrt{3}$

خطوة 18.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - i \sqrt{3}$

خطوة 18.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

خطوة 19

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ صحيحة.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

خطوة 20