ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 1$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

خطوة 4.1.2

اضرب $2$ في $1$ .

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

خطوة 4.1.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 1$ في $1$ .

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

خطوة 4.1.5

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

خطوة 4.1.6

اضرب $49$ في $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

خطوة 4.1.7

اضرب $- 25$ في $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $2$ .

$1 + 49 - 25 - 25$

خطوة 4.2.2

أضف $1$ و $49$ .

$50 - 25 - 25$

خطوة 4.2.3

اطرح $25$ من $50$ .

$25 - 25$

خطوة 4.2.4

اطرح $25$ من $25$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $1$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(2)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(1)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(49)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(50)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(50)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(25)$ في المقسوم عليه $(1)$ وضَع نتيجة $(25)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

خطوة 7

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

خطوة 7.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

خطوة 8

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أعِد تجميع الحدود.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

خطوة 9.2

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{3} - 25 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

أخرِج العامل $- x$ من $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

خطوة 9.2.2

أخرِج العامل $- x$ من $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

خطوة 9.2.3

أخرِج العامل $- x$ من $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $x^{4}$ بالصيغة ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

خطوة 9.4

لنفترض أن $u = x^{2}$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

خطوة 9.5

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ ومجموعهما $b = 49$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.1.1

أخرِج العامل $49$ من $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

خطوة 9.5.1.2

أعِد كتابة $49$ في صورة $- 1$ زائد $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

خطوة 9.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

خطوة 9.5.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.5.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

خطوة 9.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

خطوة 9.5.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

خطوة 9.6

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

خطوة 9.7

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.7.1

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

خطوة 9.7.2

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 9.7.3

أخرِج العامل $x^{2} + 25$ من $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

خطوة 9.8

لنفترض أن $u = x$ . استبدِل $u$ بجميع حالات حدوث $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

خطوة 9.9

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.1

أعِد ترتيب الحدود.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

خطوة 9.9.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما $b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

خطوة 9.9.2.2

أعِد كتابة $- 1$ في صورة $1$ زائد $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

خطوة 9.9.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 9.9.2.4

اضرب $u$ في $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

خطوة 9.9.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.9.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

خطوة 9.9.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

خطوة 9.9.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

خطوة 9.10

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.10.1

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

خطوة 9.10.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x^{2} + 25$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

خطوة 11.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 25 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اطرح $25$ من كلا المتعادلين.

$x^{2} = - 25$

خطوة 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

خطوة 11.2.3

بسّط $\pm \sqrt{- 25}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.3.1

أعِد كتابة $- 25$ بالصيغة $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

خطوة 11.2.3.2

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (25)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

خطوة 11.2.3.3

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

خطوة 11.2.3.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

خطوة 11.2.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \pm i \cdot 5$

خطوة 11.2.3.6

انقُل $5$ إلى يسار $i$ .

$x = \pm 5 i$

خطوة 11.2.4

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.4.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$x = 5 i$

خطوة 11.2.4.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$x = - 5 i$

خطوة 11.2.4.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$x = 5 i, - 5 i$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $2 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x + 1 = 0$

خطوة 12.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 12.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 12.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 12.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 12.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 13.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

خطوة 15