ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$2 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

خطوة 4.1.2

اضرب $2$ في $- 8$ .

$- 16 + 6 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2) + 2$

خطوة 4.1.3

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$- 16 + 6 \cdot 4 + 5 (- 2) + 2$

خطوة 4.1.4

اضرب $6$ في $4$ .

$- 16 + 24 + 5 (- 2) + 2$

خطوة 4.1.5

اضرب $5$ في $- 2$ .

$- 16 + 24 - 10 + 2$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 16$ و $24$ .

$8 - 10 + 2$

خطوة 4.2.2

اطرح $10$ من $8$ .

$- 2 + 2$

خطوة 4.2.3

أضف $- 2$ و $2$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2}{x + 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(2)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$

	$2$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(- 2)$ وضَع نتيجة $(- 4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(6)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$
	$2$	$2$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(- 2)$ وضَع نتيجة $(- 4)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(5)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$
	$2$	$2$	$1$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 2)$ وضَع نتيجة $(- 2)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(2)$ .

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 2$	$2$	$6$	$5$	$2$
		$- 4$	$- 4$	$- 2$
	$2$	$2$	$1$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$2 x^{2} + 2 x + 1$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 2$ و $b = 2$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

خطوة 7.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

خطوة 7.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

خطوة 7.4.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

خطوة 7.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{- 1 + i}{2}$

خطوة 7.4.5

قسّم الكسر $\frac{- 1 + i}{2}$ إلى كسرين.

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{i}{2}$

خطوة 7.4.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}$

خطوة 7.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.2.2

اضرب $- 8$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

خطوة 7.5.2

اضرب $2$ في $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

خطوة 7.5.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

خطوة 7.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{- 1 - i}{2}$

خطوة 7.5.5

قسّم الكسر $\frac{- 1 - i}{2}$ إلى كسرين.

$x = \frac{- 1}{2} + \frac{- i}{2}$

خطوة 7.5.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.6.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{- i}{2}$

خطوة 7.5.6.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x + 2) (x + \frac{1}{2} - \frac{i}{2}) (x + \frac{1}{2} + \frac{i}{2})$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $2 x^{3} + 6 x^{2} + 5 x + 2$ .

$x = - 2, - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

خطوة 10