ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 3$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $3$ إلى القوة $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

خطوة 4.1.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

خطوة 4.1.3

اضرب $- 3$ في $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 25$ في $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $27$ من $27$ .

$0 - 75 + 75$

خطوة 4.2.2

اطرح $75$ من $0$ .

$- 75 + 75$

خطوة 4.2.3

أضف $- 75$ و $75$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $3$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(3)$ وضَع نتيجة $(3)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(0)$ في المقسوم عليه $(3)$ وضَع نتيجة $(0)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 25)$ في المقسوم عليه $(3)$ وضَع نتيجة $(- 75)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} - 25$

خطوة 7

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

خطوة 8

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = x$ و $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

خطوة 9

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

خطوة 9.1.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

خطوة 9.2

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

خطوة 9.3

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

خطوة 9.4

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.4.1

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

خطوة 9.4.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

خطوة 10

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

خطوة 11

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 11.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 12

عيّن قيمة العبارة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

عيّن قيمة $x + 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 5 = 0$

خطوة 12.2

اطرح $5$ من كلا المتعادلين.

$x = - 5$

خطوة 13

عيّن قيمة العبارة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

عيّن قيمة $x - 5$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 5 = 0$

خطوة 13.2

أضف $5$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 5$

خطوة 14

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ صحيحة.

$x = 3, - 5, 5$

خطوة 15