ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11 = 0$

خطوة 1

حلّل $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 7$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 11, \pm 1.\overline{571428}$

خطوة 1.3

عوّض بـ $1.\overline{571428}$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1.\overline{571428}$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $1.\overline{571428}$ في متعدد الحدود.

$7 \cdot {1.\overline{571428}}^{3} + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

خطوة 1.3.2

ارفع $1.\overline{571428}$ إلى القوة $3$ .

$7 \cdot 3.88046647 + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

خطوة 1.3.3

اضرب $7$ في $3.88046647$ .

$27.1632653 + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

خطوة 1.3.4

ارفع $1.\overline{571428}$ إلى القوة $2$ .

$27.1632653 + 3 \cdot 2.46938775 - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

خطوة 1.3.5

اضرب $3$ في $2.46938775$ .

$27.1632653 + 7.40816326 - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

خطوة 1.3.6

أضف $27.1632653$ و $7.40816326$ .

$34.\overline{571428} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 29$ في $1.\overline{571428}$ .

$34.\overline{571428} - 45.\overline{571428} + 11$

خطوة 1.3.8

اطرح $45.\overline{571428}$ من $34.\overline{571428}$ .

$- 11 + 11$

خطوة 1.3.9

أضف $- 11$ و $11$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $1.\overline{571428}$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $7 x - 11$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11}{7 x - 11}$

خطوة 1.5

اقسِم $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ على $7 x - 11$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$7 x$

$11$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$29 x$

$11$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $7 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			+	$7 x^{3}$	-	$11 x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $7 x^{3} - 11 x^{2}$

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $14 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$22 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $14 x^{2} - 22 x$

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 7 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							-	$7 x$	+	$11$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 7 x + 11$

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							+	$7 x$	-	$11$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							+	$7 x$	-	$11$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} + 2 x - 1$

خطوة 1.6

اكتب $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(7 x - 11) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$7 x - 11 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $7 x - 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $7 x - 11$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$7 x - 11 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $7 x - 11 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $11$ إلى كلا المتعادلين.

$7 x = 11$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $7 x = 11$ على $7$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $7 x = 11$ على $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{11}{7}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{7 x}{7} = \frac{11}{7}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{11}{7}$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} + 2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x^{2} + 2 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = 2$ و $c = - 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3

أضف $4$ و $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4

أعِد كتابة $8$ بالصيغة $2^{2} \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

خطوة 4.2.3.3

بسّط $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(7 x - 11) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{11}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{11}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 1.\overline{571428}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$x = 1 \frac{4}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

خطوة 7