ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21 = 0$

خطوة 1

حلّل $2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 21, \pm 3, \pm 7$

$q = \pm 1, \pm 2$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 21, \pm 10.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 7, \pm 3.5$

خطوة 1.3

عوّض بـ $1.5$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1.5$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $1.5$ في متعدد الحدود.

$2 \cdot {1.5}^{3} - 5 \cdot {1.5}^{2} - 11 \cdot 1.5 + 21$

خطوة 1.3.2

ارفع $1.5$ إلى القوة $3$ .

$2 \cdot 3.375 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 11 \cdot 1.5 + 21$

خطوة 1.3.3

اضرب $2$ في $3.375$ .

$6.75 - 5 \cdot {1.5}^{2} - 11 \cdot 1.5 + 21$

خطوة 1.3.4

ارفع $1.5$ إلى القوة $2$ .

$6.75 - 5 \cdot 2.25 - 11 \cdot 1.5 + 21$

خطوة 1.3.5

اضرب $- 5$ في $2.25$ .

$6.75 - 11.25 - 11 \cdot 1.5 + 21$

خطوة 1.3.6

اطرح $11.25$ من $6.75$ .

$- 4.5 - 11 \cdot 1.5 + 21$

خطوة 1.3.7

اضرب $- 11$ في $1.5$ .

$- 4.5 - 16.5 + 21$

خطوة 1.3.8

اطرح $16.5$ من $- 4.5$ .

$- 21 + 21$

خطوة 1.3.9

أضف $- 21$ و $21$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $1.5$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $2 x - 3$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21}{2 x - 3}$

خطوة 1.5

اقسِم $2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21$ على $2 x - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$2 x$

$3$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$11 x$

$21$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $2 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			+	$2 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $2 x^{3} - 3 x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 2 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$3 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 2 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$x$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 14 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$
							-	$14 x$	+	$21$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 14 x + 21$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$
							+	$14 x$	-	$21$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$7$
$2 x$	-	$3$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$11 x$	+	$21$
			-	$2 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$11 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$14 x$	+	$21$
							+	$14 x$	-	$21$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - x - 7$

خطوة 1.6

اكتب $2 x^{3} - 5 x^{2} - 11 x + 21$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(2 x - 3) (x^{2} - x - 7) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - x - 7 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $2 x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$2 x - 3 = 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ في $2 x - 3 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$2 x = 3$

خطوة 3.2.2

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = 3$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x^{2} - x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - x - 7 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - x - 7 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 1$ و $c = - 7$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $- 7$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 28}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3

أضف $1$ و $28$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{29}}{2}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(2 x - 3) (x^{2} - x - 7) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = \frac{3}{2}, \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

الصيغة العشرية:

$x = 1.5, 3.19258240 \dots, - 2.19258240 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$x = 1 \frac{1}{2}, \frac{1 + \sqrt{29}}{2}, \frac{1 - \sqrt{29}}{2}$

خطوة 7