ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1 = 0$

خطوة 1

حلّل $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1$

خطوة 1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1$

خطوة 1.3

عوّض بـ $1$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $1$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

عوّض بـ $1$ في متعدد الحدود.

$1^{3} - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.3.2

ارفع $1$ إلى القوة $3$ .

$1 - 5 \cdot 1^{2} + 5 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.3.3

ارفع $1$ إلى القوة $2$ .

$1 - 5 \cdot 1 + 5 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.3.4

اضرب $- 5$ في $1$ .

$1 - 5 + 5 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.3.5

اطرح $5$ من $1$ .

$- 4 + 5 \cdot 1 - 1$

خطوة 1.3.6

اضرب $5$ في $1$ .

$- 4 + 5 - 1$

خطوة 1.3.7

أضف $- 4$ و $5$ .

$1 - 1$

خطوة 1.3.8

اطرح $1$ من $1$ .

$0$

خطوة 1.4

بما أن $1$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1}{x - 1}$

خطوة 1.5

اقسِم $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ على $x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

خطوة 1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$

خطوة 1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

خطوة 1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

خطوة 1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 4 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$

خطوة 1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$4 x^{2}$	+	$4 x$

خطوة 1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 4 x^{2} + 4 x$

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$

خطوة 1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$

خطوة 1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$4 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

خطوة 1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $x$ .

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$

خطوة 1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							+	$x$	-	$1$

خطوة 1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $x - 1$

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$

خطوة 1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$4 x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$4 x^{2}$	-	$4 x$
							+	$x$	-	$1$
							-	$x$	+	$1$
										$0$

خطوة 1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - 4 x + 1$

خطوة 1.6

اكتب $x^{3} - 5 x^{2} + 5 x - 1$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$

خطوة 2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

خطوة 3

عيّن قيمة العبارة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة $x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 1 = 0$

خطوة 3.2

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة $x^{2} - 4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة $x^{2} - 4 x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x^{2} - 4 x + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة $x$ في $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 4.2.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 4$ و $c = 1$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

ارفع $- 4$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.3

اطرح $4$ من $16$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4

أعِد كتابة $12$ بالصيغة $2^{2} \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

خطوة 4.2.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

خطوة 4.2.3.3

بسّط $\frac{4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 2 \pm \sqrt{3}$

خطوة 4.2.4

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

خطوة 5

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x - 1) (x^{2} - 4 x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$x = 1, 2 + \sqrt{3}, 2 - \sqrt{3}$

الصيغة العشرية:

$x = 1, 3.73205080 \dots, 0.26794919 \dots$

خطوة 7