ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

حلّل $x^{2} + 4 x + 3$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $3$ ومجموعهما $4$ .

$1, 3$

خطوة 1.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

خطوة 1.2

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

خطوة 1.3

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل في القاسم خطي، ضع متغيرًا واحدًا في مكانه $B$ .

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$

خطوة 1.4

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $(x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.6.2

اقسِم $x - 2$ على $1$ .

$x - 2 = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.7

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$x - 2 = \frac{A (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.7.1.2

اقسِم $(A) (x + 3)$ على $1$ .

$x - 2 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 2 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.7.3

انقُل $3$ إلى يسار $A$ .

$x - 2 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x + 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$x - 2 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

خطوة 1.7.4.2

اقسِم $(B) (x + 1)$ على $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + (B) (x + 1)$

خطوة 1.7.5

طبّق خاصية التوزيع.

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B \cdot 1$

خطوة 1.7.6

اضرب $B$ في $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B$

خطوة 1.8

انقُل $3 A$ .

$x - 2 = A x + B x + 3 A + B$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$- 2 = 3 A + B$

خطوة 2.3

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد قيمة $A$ في $1 = A + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A + B$

خطوة 3.1.2

اطرح $B$ من كلا المتعادلين.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

خطوة 3.2

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1 - B$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $- 2 = 3 A + B$ بـ $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

بسّط $3 (1 - B) + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.2

اضرب $3$ في $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2.1.1.3

اضرب $- 1$ في $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.2.2.1.2

أضف $- 3 B$ و $B$ .

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3

أوجِد قيمة $B$ في $- 2 = 3 - 2 B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $3 - 2 B = - 2$ .

$3 - 2 B = - 2$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.2

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $B$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$- 2 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.2.2

اطرح $3$ من $- 2$ .

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3

اقسِم كل حد في $- 2 B = - 5$ على $- 2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

اقسِم كل حد في $- 2 B = - 5$ على $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3.2.1.2

اقسِم $B$ على $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.3.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.3.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

خطوة 3.4

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ بـ $\frac{5}{2}$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استبدِل كافة حالات حدوث $B$ في $A = 1 - B$ بـ $\frac{5}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{2})$

$B = \frac{5}{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط $1 - (\frac{5}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$A = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$A = \frac{2 - 5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

خطوة 3.4.2.1.3

اطرح $5$ من $2$ .

$A = \frac{- 3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

خطوة 3.4.2.1.4

انقُل السالب أمام الكسر.

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

خطوة 3.5

اسرِد جميع الحلول.

$A = - \frac{3}{2}, B = \frac{5}{2}$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{5}{2}}{x + 3}$