ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

خطوة 1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $x$ من داخل جيب التمام.

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

خطوة 2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ هي $\frac{π}{4}$ .

$2 x = \frac{π}{4}$

خطوة 3

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 3.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

خطوة 3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 3.3.2

اضرب $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

اضرب $\frac{π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

خطوة 3.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{π}{8}$

خطوة 4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

خطوة 5

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

لكتابة $2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.1.2

اجمع $2 π$ و $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

خطوة 5.1.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

خطوة 5.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

خطوة 5.1.5

اطرح $π$ من $8 π$ .

$2 x = \frac{7 π}{4}$

خطوة 5.2

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{4}$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اقسِم كل حد في $2 x = \frac{7 π}{4}$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

خطوة 5.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

خطوة 5.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

خطوة 5.2.3.2

اضرب $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

اضرب $\frac{7 π}{4}$ في $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

خطوة 5.2.3.2.2

اضرب $4$ في $2$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

خطوة 6

أوجِد فترة $\cos (2 x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 6.2

استبدِل $b$ بـ $2$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

خطوة 6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين $0$ و $2$ تساوي $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 π}{2}$

خطوة 6.4.2

اقسِم $π$ على $1$ .

$π$

خطوة 7

فترة دالة $\cos (2 x)$ هي $π$ ، لذا تتكرر القيم كل $π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

أوجِد قيم $n$ التي ينتج عنها وجود قيمة في الفترة $[0, 2 π]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{π}{8} + π (0)$

خطوة 8.1.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{π}{8} + 0$

خطوة 8.1.2.2

أضف $\frac{π}{8}$ و $0$ .

$\frac{π}{8}$

خطوة 8.1.3

الفترة $[0, 2 π]$ تتضمن $\frac{π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}$

خطوة 8.2

عوّض بـ $0$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

عوّض بـ $0$ عن $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

خطوة 8.2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.2.1

اضرب $π$ في $0$ .

$\frac{7 π}{8} + 0$

خطوة 8.2.2.2

أضف $\frac{7 π}{8}$ و $0$ .

$\frac{7 π}{8}$

خطوة 8.2.3

الفترة $[0, 2 π]$ تتضمن $\frac{7 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

خطوة 8.3

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{π}{8} + π (1)$

خطوة 8.3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{π}{8} + π$

خطوة 8.3.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 8.3.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.3.1

اجمع $π$ و $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

خطوة 8.3.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

خطوة 8.3.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.4.1

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

خطوة 8.3.2.4.2

أضف $π$ و $8 π$ .

$\frac{9 π}{8}$

خطوة 8.3.3

الفترة $[0, 2 π]$ تتضمن $\frac{9 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

خطوة 8.4

عوّض بـ $1$ عن $n$ وبسّط لمعرفة ما إذا كان الحل موجودًا في $[0, 2 π]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ .

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

خطوة 8.4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.1

اضرب $π$ في $1$ .

$\frac{7 π}{8} + π$

خطوة 8.4.2.2

لكتابة $π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

خطوة 8.4.2.3

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.3.1

اجمع $π$ و $\frac{8}{8}$ .

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

خطوة 8.4.2.3.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

خطوة 8.4.2.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.2.4.1

انقُل $8$ إلى يسار $π$ .

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

خطوة 8.4.2.4.2

أضف $7 π$ و $8 π$ .

$\frac{15 π}{8}$

خطوة 8.4.3

الفترة $[0, 2 π]$ تتضمن $\frac{15 π}{8}$ .

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$