ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$5 x^{2} + 8 y^{2} = 40$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد على $40$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{5 x^{2}}{40} + \frac{8 y^{2}}{40} = \frac{40}{40}$

خطوة 1.2

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{5} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 2 \sqrt{2}$

$b = \sqrt{5}$

$k = 0$

$h = 0$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(0, 0)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.2

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.2.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{4 \cdot 2 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.3

اضرب $4$ في $2$ .

$\sqrt{8 - {(\sqrt{5})}^{2}}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{8 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5.3.4.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 5.3.4.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 5.3.4.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\sqrt{8 - 5^{1}}$

خطوة 5.3.4.5

احسِب قيمة الأُس.

$\sqrt{8 - 1 \cdot 5}$

خطوة 5.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\sqrt{8 - 5}$

خطوة 5.3.5.2

اطرح $5$ من $8$ .

$\sqrt{3}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + 2 \sqrt{2}, 0)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(2 \sqrt{2}, 0)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (2 \sqrt{2}), 0)$

خطوة 6.6

بسّط.

$(- 2 \sqrt{2}, 0)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 + \sqrt{3}, 0)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(\sqrt{3}, 0)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع ناقص بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(0 - (\sqrt{3}), 0)$

خطوة 7.6

بسّط.

$(- \sqrt{3}, 0)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} - {(\sqrt{5})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

طبّق قاعدة الضرب على $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2^{1} - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.3.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{4 \cdot 2 - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.4

اضرب $4$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - {\sqrt{5}}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{8 - {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{8 - 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{8 - 5^{\frac{2}{2}}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{8 - 5^{1}}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.5.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{8 - 1 \cdot 5}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.6

اضرب $- 1$ في $5$ .

$\frac{\sqrt{8 - 5}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.1.7

اطرح $5$ من $8$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.2

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

خطوة 8.3.3

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.1

اضرب $\frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}}$ في $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}}$

خطوة 8.3.3.2

انقُل $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})}$

خطوة 8.3.3.3

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}$

خطوة 8.3.3.4

ارفع $\sqrt{2}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}$

خطوة 8.3.3.5

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

خطوة 8.3.3.6

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}}$

خطوة 8.3.3.7

أعِد كتابة ${\sqrt{2}}^{2}$ بالصيغة $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.7.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{2}$ في صورة $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8.3.3.7.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 8.3.3.7.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.7.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.3.7.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 8.3.3.7.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}}$

خطوة 8.3.3.7.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.4.1

اجمع باستخدام قاعدة ضرب الجذور.

$\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.3.4.2

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}$

خطوة 8.3.5

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{\sqrt{6}}{4}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(2 \sqrt{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 2 \sqrt{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\sqrt{3}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \sqrt{3}, 0)$

الاختلاف المركزي: $\frac{\sqrt{6}}{4}$

خطوة 10