ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y - 89 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $89$ إلى كلا المتعادلين.

$16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $16 x^{2} - 64 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 16$

$b = - 64$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 64}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 64$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 64$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 (16)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 32}{2 \cdot 16}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 32}{16}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 32$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $16$ من $- 32$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $16$ من $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{16 \cdot - 2}{16 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 64)}^{2}}{4 \cdot 16}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 64$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{4096}{4 \cdot 16}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $16$ .

$e = 0 - \frac{4096}{64}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $4096$ على $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 64$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $64$ .

$e = 0 - 64$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $64$ من $0$ .

$e = - 64$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64$

خطوة 1.3

استبدِل $16 x^{2} - 64 x$ بـ $16 {(x - 2)}^{2} - 64$ في المعادلة $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 64 - 9 y^{2} - 18 y = 89$

خطوة 1.4

انقُل $- 64$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $64$ إلى كلا الطرفين.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 18 y = 89 + 64$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $- 9 y^{2} - 18 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 9$

$b = - 18$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 18}{2 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 18$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 18$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 (- 9)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 9}{2 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

خطوة 1.5.3.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $- 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{- 9}{- 9}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$d = 1$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 18)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 18$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{324}{4 \cdot - 9}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 9$ .

$e = 0 - \frac{324}{- 36}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $324$ على $- 36$ .

$e = 0 - - 9$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$e = 0 + 9$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$e = 9$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ .

$- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$

خطوة 1.6

استبدِل $- 9 y^{2} - 18 y$ بـ $- 9 {(y + 1)}^{2} + 9$ في المعادلة $16 x^{2} - 9 y^{2} - 64 x - 18 y = 89$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} + 9 = 89 + 64$

خطوة 1.7

انقُل $9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 89 + 64 - 9$

خطوة 1.8

بسّط $89 + 64 - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $89$ و $64$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 153 - 9$

خطوة 1.8.2

اطرح $9$ من $153$ .

$16 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 1)}^{2} = 144$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $144$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{16 {(x - 2)}^{2}}{144} - \frac{9 {(y + 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} - \frac{{(y + 1)}^{2}}{16} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 3$

$b = 4$

$k = - 1$

$h = 2$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(2, - 1)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{9 + 16}$

خطوة 5.3.3

أضف $9$ و $16$ .

$\sqrt{25}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\sqrt{5^{2}}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$5$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(5, - 1)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 1, - 1)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(5, - 1), (- 1, - 1)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(7, - 1)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 3, - 1)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(7, - 1), (- 3, - 1)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} + {(4)}^{2}}}{3}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4^{2}}}{3}$

خطوة 8.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{9 + 16}}{3}$

خطوة 8.3.3

أضف $9$ و $16$ .

$\frac{\sqrt{25}}{3}$

خطوة 8.3.4

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{3}$

خطوة 8.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{5}{3}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{4^{2}}{5}$

خطوة 9.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16}{5}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{4}{3} x + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{4}{3}$ و $x$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

خطوة 11.2.1.4

اضرب $\frac{4}{3} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

اجمع $\frac{4}{3}$ و $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{4 \cdot - 2}{3} - 1$

خطوة 11.2.1.4.2

اضرب $4$ في $- 2$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8}{3} - 1$

خطوة 11.2.1.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1$

خطوة 11.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 11.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 1 \cdot 3}{3}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 8 - 3}{3}$

خطوة 11.2.5.2

اطرح $3$ من $- 8$ .

$y = \frac{4 x}{3} + \frac{- 11}{3}$

خطوة 11.2.6

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{4}{3} \cdot (x - (2)) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = - \frac{4}{3} \cdot (x - 2) - 1$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{4}{3} x - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} - \frac{4}{3} \cdot - 2 - 1$

خطوة 12.2.1.4

اضرب $- \frac{4}{3} \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + 2 (\frac{4}{3}) - 1$

خطوة 12.2.1.4.2

اجمع $2$ و $\frac{4}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{2 \cdot 4}{3} - 1$

خطوة 12.2.1.4.3

اضرب $2$ في $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{3} + \frac{8}{3} - 1$

خطوة 12.2.1.5

انقُل $4$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1$

خطوة 12.2.2

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}$

خطوة 12.2.3

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 1 \cdot 3}{3}$

خطوة 12.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{8 - 3}{3}$

خطوة 12.2.5.2

اطرح $3$ من $8$ .

$y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}, y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(2, - 1)$

الرؤوس: $(5, - 1), (- 1, - 1)$

البؤر: $(7, - 1), (- 3, - 1)$

الاختلاف المركزي: $\frac{5}{3}$

المعلمة البؤرية: $\frac{16}{5}$

خطوط التقارب: $y = \frac{4 x}{3} - \frac{11}{3}$ ، $y = - \frac{4 x}{3} + \frac{5}{3}$

خطوة 15