ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y - 9 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الزائد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $4 x^{2} - 16 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 8}{4}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 8$ و $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 16$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $256$ على $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $16$ .

$e = 0 - 16$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $16$ من $0$ .

$e = - 16$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

خطوة 1.3

استبدِل $4 x^{2} - 16 x$ بـ $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ في المعادلة $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - y^{2} - 6 y = 9$

خطوة 1.4

انقُل $- 16$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $16$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(x - 2)}^{2} - y^{2} - 6 y = 9 + 16$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $- y^{2} - 6 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 6$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

خطوة 1.5.3.2.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot - 3$ بالصيغة $- - 3$ .

$d = - - 3$

خطوة 1.5.3.2.3

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$d = 3$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $- 6$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $36$ على $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $- 9$ .

$e = 0 + 9$

خطوة 1.5.4.2.2

أضف $0$ و $9$ .

$e = 9$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $- {(y + 3)}^{2} + 9$ .

$- {(y + 3)}^{2} + 9$

خطوة 1.6

استبدِل $- y^{2} - 6 y$ بـ $- {(y + 3)}^{2} + 9$ في المعادلة $4 x^{2} - y^{2} - 16 x - 6 y = 9$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} + 9 = 9 + 16$

خطوة 1.7

انقُل $9$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $9$ إلى كلا الطرفين.

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 9 + 16 - 9$

خطوة 1.8

بسّط $9 + 16 - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $9$ و $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 25 - 9$

خطوة 1.8.2

اطرح $9$ من $25$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - {(y + 3)}^{2} = 16$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $16$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{4 {(x - 2)}^{2}}{16} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 2$

$b = 4$

$k = - 3$

$h = 2$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(2, - 3)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + {(4)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{4 + 16}$

خطوة 5.3.3

أضف $4$ و $16$ .

$\sqrt{20}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$\sqrt{4 (5)}$

خطوة 5.3.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 5}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$2 \sqrt{5}$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(4, - 3)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(0, - 3)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(4, - 3), (0, - 3)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(4)}^{2}}}{2}$

خطوة 8.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4^{2}}}{2}$

خطوة 8.3.1.2

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 16}}{2}$

خطوة 8.3.1.3

أضف $4$ و $16$ .

$\frac{\sqrt{20}}{2}$

خطوة 8.3.1.4

أعِد كتابة $20$ بالصيغة $2^{2} \cdot 5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $20$ .

$\frac{\sqrt{4 (5)}}{2}$

خطوة 8.3.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2}$

خطوة 8.3.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 8.3.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \sqrt{5}}{2}$

خطوة 8.3.2.2

اقسِم $\sqrt{5}$ على $1$ .

$\sqrt{5}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{4^{2}}{2 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.1

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$\frac{16}{2 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.2

احذِف العامل المشترك لـ $16$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.1

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.2.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \sqrt{5}$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (\sqrt{5})}$

خطوة 9.3.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.3.3

اضرب $\frac{8}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

خطوة 9.3.4

جمّع وبسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.1

اضرب $\frac{8}{\sqrt{5}}$ في $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.4.2

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

خطوة 9.3.4.3

ارفع $\sqrt{5}$ إلى القوة $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

خطوة 9.3.4.4

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

خطوة 9.3.4.5

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

خطوة 9.3.4.6

أعِد كتابة ${\sqrt{5}}^{2}$ بالصيغة $5$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.6.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{5}$ في صورة $5^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9.3.4.6.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

خطوة 9.3.4.6.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.4.6.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.3.4.6.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

خطوة 9.3.4.6.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5^{1}}$

خطوة 9.3.4.6.5

احسِب قيمة الأُس.

$\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm 2 \cdot (x - (2)) - 3$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = 2 \cdot (x - (2)) - 3$

خطوة 11.2

بسّط $2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = 2 \cdot (x - 2) - 3$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = 2 x + 2 \cdot - 2 - 3$

خطوة 11.2.1.3

اضرب $2$ في $- 2$ .

$y = 2 x - 4 - 3$

خطوة 11.2.2

اطرح $3$ من $- 4$ .

$y = 2 x - 7$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - 2 \cdot (x - (2)) - 3$

خطوة 12.2

بسّط $- 2 \cdot (x - (2)) - 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$y = - 2 \cdot (x - 2) - 3$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - 2 x - 2 \cdot - 2 - 3$

خطوة 12.2.1.3

اضرب $- 2$ في $- 2$ .

$y = - 2 x + 4 - 3$

خطوة 12.2.2

اطرح $3$ من $4$ .

$y = - 2 x + 1$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = 2 x - 7, y = - 2 x + 1$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(2, - 3)$

الرؤوس: $(4, - 3), (0, - 3)$

البؤر: $(2 + 2 \sqrt{5}, - 3), (2 - 2 \sqrt{5}, - 3)$

الاختلاف المركزي: $\sqrt{5}$

المعلمة البؤرية: $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

خطوط التقارب: $y = 2 x - 7$ ، $y = - 2 x + 1$

خطوة 15