ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y - 44 = 0$

خطوة 1

أوجِد الصيغة القياسية للقطع الناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أضف $44$ إلى كلا المتعادلين.

$25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$

خطوة 1.2

أكمل المربع لـ $25 x^{2} - 100 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 25$

$b = - 100$

$c = 0$

خطوة 1.2.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.2.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 100}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $- 100$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $- 100$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 25$ .

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 (25)}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot - 50}{2 \cdot 25}$

خطوة 1.2.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 50}{25}$

خطوة 1.2.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $- 50$ و $25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $- 50$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25}$

خطوة 1.2.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $25$ من $25$ .

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 (1)}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{25 \cdot - 2}{25 \cdot 1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{- 2}{1}$

خطوة 1.2.3.2.2.2.4

اقسِم $- 2$ على $1$ .

$d = - 2$

خطوة 1.2.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 100)}^{2}}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.2.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.2.1.1

ارفع $- 100$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot 25}$

خطوة 1.2.4.2.1.2

اضرب $4$ في $25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{100}$

خطوة 1.2.4.2.1.3

اقسِم $10000$ على $100$ .

$e = 0 - 1 \cdot 100$

خطوة 1.2.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $100$ .

$e = 0 - 100$

خطوة 1.2.4.2.2

اطرح $100$ من $0$ .

$e = - 100$

خطوة 1.2.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100$

خطوة 1.3

استبدِل $25 x^{2} - 100 x$ بـ $25 {(x - 2)}^{2} - 100$ في المعادلة $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} - 100 + 9 y^{2} + 54 y = 44$

خطوة 1.4

انقُل $- 100$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $100$ إلى كلا الطرفين.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 y^{2} + 54 y = 44 + 100$

خطوة 1.5

أكمل المربع لـ $9 y^{2} + 54 y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

استخدِم الصيغة $a x^{2} + b x + c$ لإيجاد قيم $a$ و $b$ و $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

خطوة 1.5.2

ضع في اعتبارك شكل رأس قطع مكافئ.

$a {(x + d)}^{2} + e$

خطوة 1.5.3

أوجِد قيمة $d$ باستخدام القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.1

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1

احذِف العامل المشترك لـ $54$ و $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.1.2.1

أخرِج العامل $2$ من $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

خطوة 1.5.3.2.1.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{27}{9}$

خطوة 1.5.3.2.2

احذِف العامل المشترك لـ $27$ و $9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

خطوة 1.5.3.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.3.2.2.2.1

أخرِج العامل $9$ من $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$d = \frac{3}{1}$

خطوة 1.5.3.2.2.2.4

اقسِم $3$ على $1$ .

$d = 3$

خطوة 1.5.4

أوجِد قيمة $e$ باستخدام القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

عوّض بقيم $c$ و $b$ و $a$ في القاعدة $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.5.4.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.2.1.1

ارفع $54$ إلى القوة $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

خطوة 1.5.4.2.1.2

اضرب $4$ في $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

خطوة 1.5.4.2.1.3

اقسِم $2916$ على $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

خطوة 1.5.4.2.1.4

اضرب $- 1$ في $81$ .

$e = 0 - 81$

خطوة 1.5.4.2.2

اطرح $81$ من $0$ .

$e = - 81$

خطوة 1.5.5

عوّض بقيم $a$ و $d$ و $e$ في شكل الرأس $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

خطوة 1.6

استبدِل $9 y^{2} + 54 y$ بـ $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ في المعادلة $25 x^{2} + 9 y^{2} - 100 x + 54 y = 44$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} - 81 = 44 + 100$

خطوة 1.7

انقُل $- 81$ إلى المتعادل الأيمن بإضافة $81$ إلى كلا الطرفين.

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 44 + 100 + 81$

خطوة 1.8

بسّط $44 + 100 + 81$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

أضف $44$ و $100$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 144 + 81$

خطوة 1.8.2

أضف $144$ و $81$ .

$25 {(x - 2)}^{2} + 9 {(y + 3)}^{2} = 225$

خطوة 1.9

اقسِم كل حد على $225$ ليصبح الطرف الأيمن مساويًا لواحد.

$\frac{25 {(x - 2)}^{2}}{225} + \frac{9 {(y + 3)}^{2}}{225} = \frac{225}{225}$

خطوة 1.10

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{9} + \frac{{(y + 3)}^{2}}{25} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الناقص. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المستخدمة لإيجاد المركز بالإضافة إلى المحور الرئيسي والثانوي للقطع الناقص.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الناقص بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $a$ نصف قطر المحور الرئيسي للقطع الناقص، ويمثل $b$ نصف قطر المحور الثانوي للقطع الناقص، ويمثل $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل.

$a = 5$

$b = 3$

$k = - 3$

$h = 2$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الناقص الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(2, - 3)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الناقص باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{25 - {(3)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{25 - 1 \cdot 9}$

خطوة 5.3.3

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\sqrt{25 - 9}$

خطوة 5.3.4

اطرح $9$ من $25$ .

$\sqrt{16}$

خطوة 5.3.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

خطوة 5.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$4$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع ناقص بجمع $a$ مع $k$ .

$(h, k + a)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 3 + 5)$

خطوة 6.3

بسّط.

$(2, 2)$

خطوة 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

خطوة 6.5

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 3 - (5))$

خطوة 6.6

بسّط.

$(2, - 8)$

خطوة 6.7

القطوع الناقصة لها رأسان.

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بجمع $c$ مع $k$ .

$(h, k + c)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 3 + 4)$

خطوة 7.3

بسّط.

$(2, 1)$

خطوة 7.4

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع ناقص بطرح $c$ من $k$ .

$(h, k - c)$

خطوة 7.5

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة.

$(2, - 3 - (4))$

خطوة 7.6

بسّط.

$(2, - 7)$

خطوة 7.7

القطوع الناقصة لها بؤرتان.

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(3)}^{2}}}{5}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 3^{2}}}{5}$

خطوة 8.3.2

ارفع $3$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - 1 \cdot 9}}{5}$

خطوة 8.3.3

اضرب $- 1$ في $9$ .

$\frac{\sqrt{25 - 9}}{5}$

خطوة 8.3.4

اطرح $9$ من $25$ .

$\frac{\sqrt{16}}{5}$

خطوة 8.3.5

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{5}$

خطوة 8.3.6

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{4}{5}$

خطوة 9

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الناقص بيانيًا وتحليله.

المركز: $(2, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(2, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(2, - 8)$

${Focus}_{1}$ : $(2, 1)$

${Focus}_{2}$ : $(2, - 7)$

الاختلاف المركزي: $\frac{4}{5}$

خطوة 10