ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\log (x - 2) + \log (9 - x) < 1$

خطوة 1

حوّل التباين إلى تساوٍ.

$\log (x - 2) + \log (9 - x) = 1$

خطوة 2

أوجِد حل المعادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

استخدِم خاصية الضرب في اللوغاريتمات، $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (9 - x)) = 1$

خطوة 2.1.2

وسّع $(x - 2) (9 - x)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x (9 - x) - 2 (9 - x)) = 1$

خطوة 2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 (9 - x)) = 1$

خطوة 2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\log (x \cdot 9 + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

خطوة 2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.1

انقُل $9$ إلى يسار $x$ .

$\log (9 \cdot x + x (- x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

خطوة 2.1.3.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\log (9 x - x \cdot x - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

خطوة 2.1.3.1.3

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.3.1.3.1

انقُل $x$ .

$\log (9 x - (x \cdot x) - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

خطوة 2.1.3.1.3.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\log (9 x - x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (- x)) = 1$

خطوة 2.1.3.1.4

اضرب $- 2$ في $9$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 - 2 (- x)) = 1$

خطوة 2.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 2$ .

$\log (9 x - x^{2} - 18 + 2 x) = 1$

خطوة 2.1.3.2

أضف $9 x$ و $2 x$ .

$\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$

خطوة 2.2

أعِد كتابة $\log (11 x - x^{2} - 18) = 1$ بالصيغة الأُسية باستخدام تعريف اللوغاريتم. إذا كان $x$ و $b$ عددين حقيقيين موجبين وكان $b \neq 1$ ، إذن $\log_{b} (x) = y$ تكافئ $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 11 x - x^{2} - 18$

خطوة 2.3

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $11 x - x^{2} - 18 = 10^{1}$ .

$11 x - x^{2} - 18 = 10$

خطوة 2.3.2

اطرح $10$ من كلا المتعادلين.

$11 x - x^{2} - 18 - 10 = 0$

خطوة 2.3.3

اطرح $10$ من $- 18$ .

$11 x - x^{2} - 28 = 0$

خطوة 2.3.4

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1

أخرِج العامل $- 1$ من $11 x - x^{2} - 28$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.1.1

أعِد ترتيب $11 x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 28 = 0$

خطوة 2.3.4.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 28 = 0$

خطوة 2.3.4.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 28 = 0$

خطوة 2.3.4.1.4

أعِد كتابة $- 28$ بالصيغة $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

خطوة 2.3.4.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

خطوة 2.3.4.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 28) = 0$

خطوة 2.3.4.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1

حلّل $x^{2} - 11 x + 28$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.4.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $28$ ومجموعهما $- 11$ .

$- 7, - 4$

خطوة 2.3.4.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 7) (x - 4)) = 0$

خطوة 2.3.4.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 7) (x - 4) = 0$

خطوة 2.3.5

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 7 = 0$

$x - 4 = 0$

خطوة 2.3.6

عيّن قيمة العبارة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.6.1

عيّن قيمة $x - 7$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 7 = 0$

خطوة 2.3.6.2

أضف $7$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 7$

خطوة 2.3.7

عيّن قيمة العبارة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.7.1

عيّن قيمة $x - 4$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 4 = 0$

خطوة 2.3.7.2

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 4$

خطوة 2.3.8

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 7) (x - 4) = 0$ صحيحة.

$x = 7, 4$

خطوة 3

أوجِد نطاق $\log (11 x - x^{2} - 18) - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عيّن قيمة المتغير المستقل في $\log (11 x - x^{2} - 18)$ بحيث تصبح أكبر من $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$11 x - x^{2} - 18 > 0$

خطوة 3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

حوّل المتباينة إلى معادلة.

$11 x - x^{2} - 18 = 0$

خطوة 3.2.2

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1

أخرِج العامل $- 1$ من $11 x - x^{2} - 18$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.1.1

أعِد ترتيب $11 x$ و $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 11 x - 18 = 0$

خطوة 3.2.2.1.2

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 11 x - 18 = 0$

خطوة 3.2.2.1.3

أخرِج العامل $- 1$ من $11 x$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 18 = 0$

خطوة 3.2.2.1.4

أعِد كتابة $- 18$ بالصيغة $- 1 (18)$ .

$- (x^{2}) - (- 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

خطوة 3.2.2.1.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2}) - (- 11 x)$ .

$- (x^{2} - 11 x) - 1 \cdot 18 = 0$

خطوة 3.2.2.1.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{2} - 11 x) - 1 (18)$ .

$- (x^{2} - 11 x + 18) = 0$

خطوة 3.2.2.2

حلّل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1

حلّل $x^{2} - 11 x + 18$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.2.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $18$ ومجموعهما $- 11$ .

$- 9, - 2$

خطوة 3.2.2.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$- ((x - 9) (x - 2)) = 0$

خطوة 3.2.2.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$- (x - 9) (x - 2) = 0$

خطوة 3.2.3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x - 9 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 3.2.4

عيّن قيمة العبارة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.4.1

عيّن قيمة $x - 9$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 9 = 0$

خطوة 3.2.4.2

أضف $9$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 9$

خطوة 3.2.5

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 3.2.5.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 3.2.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $- (x - 9) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = 9, 2$

خطوة 3.2.7

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 2$

$2 < x < 9$

$x > 9$

خطوة 3.2.8

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 3.2.8.1.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$11 (0) - {(0)}^{2} - 18 > 0$

خطوة 3.2.8.1.3

الطرف الأيسر $- 18$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 3.2.8.2

اختبر قيمة في الفترة $2 < x < 9$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.2.1

اختر قيمة من الفترة $2 < x < 9$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 3.2.8.2.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$11 (6) - {(6)}^{2} - 18 > 0$

خطوة 3.2.8.2.3

الطرف الأيسر $12$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 3.2.8.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 9$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.8.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 9$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 12$

خطوة 3.2.8.3.2

استبدِل $x$ بـ $12$ في المتباينة الأصلية.

$11 (12) - {(12)}^{2} - 18 > 0$

خطوة 3.2.8.3.3

الطرف الأيسر $- 30$ ليس أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 3.2.8.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 2$ خطأ

$2 < x < 9$ صحيحة

$x > 9$ خطأ

$x < 2$ خطأ

$2 < x < 9$ صحيحة

$x > 9$ خطأ

خطوة 3.2.9

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$2 < x < 9$

خطوة 3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(2, 9)$

خطوة 4

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$4 < x < 7$

$7 < x < 9$

$x > 9$

خطوة 5

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اختبر قيمة في الفترة $x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 5.1.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\log ((0) - 2) + \log (9 - (0)) < 1$

خطوة 5.1.3

حدد ما إذا كانت المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.1.3.2

الطرف الأيسر ليس له حل، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.2

اختبر قيمة في الفترة $2 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

اختر قيمة من الفترة $2 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 3$

خطوة 5.2.2

استبدِل $x$ بـ $3$ في المتباينة الأصلية.

$\log ((3) - 2) + \log (9 - (3)) < 1$

خطوة 5.2.3

الطرف الأيسر $0.77815125$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3

اختبر قيمة في الفترة $4 < x < 7$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اختر قيمة من الفترة $4 < x < 7$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 5.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$\log ((6) - 2) + \log (9 - (6)) < 1$

خطوة 5.3.3

الطرف الأيسر $1.07918124$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.4

اختبر قيمة في الفترة $7 < x < 9$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اختر قيمة من الفترة $7 < x < 9$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 8$

خطوة 5.4.2

استبدِل $x$ بـ $8$ في المتباينة الأصلية.

$\log ((8) - 2) + \log (9 - (8)) < 1$

خطوة 5.4.3

الطرف الأيسر $0.77815125$ أصغر من الطرف الأيمن $1$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 9$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 9$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 12$

خطوة 5.5.2

استبدِل $x$ بـ $12$ في المتباينة الأصلية.

$\log ((12) - 2) + \log (9 - (12)) < 1$

خطوة 5.5.3

حدد ما إذا كانت المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.3.1

لا يمكن حل المعادلة لأنها غير معرّفة.

$غير معرّف$

خطوة 5.5.3.2

الطرف الأيسر ليس له حل، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < 2$ خطأ

$2 < x < 4$ صحيحة

$4 < x < 7$ خطأ

$7 < x < 9$ صحيحة

$x > 9$ خطأ

$x < 2$ خطأ

$2 < x < 4$ صحيحة

$4 < x < 7$ خطأ

$7 < x < 9$ صحيحة

$x > 9$ خطأ

خطوة 6

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$2 < x < 4$ أو $7 < x < 9$

خطوة 7

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

صيغة التباين:

$2 < x < 4 or 7 < x < 9$

ترميز الفترة:

$(2, 4) \cup (7, 9)$

خطوة 8