ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1, \pm 3$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{4}{3}, \pm 6, \pm 12$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

$3 {(2)}^{4} - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = 2$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $2$ إلى القوة $4$ .

$3 \cdot 16 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

خطوة 4.1.2

اضرب $3$ في $16$ .

$48 - 10 {(2)}^{3} - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

خطوة 4.1.3

ارفع $2$ إلى القوة $3$ .

$48 - 10 \cdot 8 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 10$ في $8$ .

$48 - 80 - 9 {(2)}^{2} + 40 (2) - 12$

خطوة 4.1.5

ارفع $2$ إلى القوة $2$ .

$48 - 80 - 9 \cdot 4 + 40 (2) - 12$

خطوة 4.1.6

اضرب $- 9$ في $4$ .

$48 - 80 - 36 + 40 (2) - 12$

خطوة 4.1.7

اضرب $40$ في $2$ .

$48 - 80 - 36 + 80 - 12$

خطوة 4.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $80$ من $48$ .

$- 32 - 36 + 80 - 12$

خطوة 4.2.2

اطرح $36$ من $- 32$ .

$- 68 + 80 - 12$

خطوة 4.2.3

أضف $- 68$ و $80$ .

$12 - 12$

خطوة 4.2.4

اطرح $12$ من $12$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $2$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x - 2$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12}{x - 2}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(3)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$

	$3$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(3)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(6)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 10)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$
	$3$	$- 4$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 4)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 8)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 9)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$
	$3$	$- 4$	$- 17$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 17)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(- 34)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(40)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

خطوة 6.9

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(6)$ في المقسوم عليه $(2)$ وضَع نتيجة $(12)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 12)$ .

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$

خطوة 6.10

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$2$	$3$	$- 10$	$- 9$	$40$	$- 12$
		$6$	$- 8$	$- 34$	$12$
	$3$	$- 4$	$- 17$	$6$	$0$

خطوة 6.11

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$3 x^{3} + - 4 x^{2} + (- 17) x + 6$

خطوة 6.12

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

حلّل المتعادل الأيسر إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

حلّل $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ إلى عوامل باستخدام اختبار الجذور النسبية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.1

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 3$

خطوة 7.1.1.2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 6, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 3$

خطوة 7.1.1.3

عوّض بـ $0.\overline{3}$ وبسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $0.\overline{3}$ هو جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.3.1

عوّض بـ $0.\overline{3}$ في متعدد الحدود.

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

خطوة 7.1.1.3.2

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $3$ .

$3 \cdot 0.\overline{037} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

خطوة 7.1.1.3.3

اضرب $3$ في $0.\overline{037}$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot {0.\overline{3}}^{2} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

خطوة 7.1.1.3.4

ارفع $0.\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$0.\overline{1} - 4 \cdot 0.\overline{1} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

خطوة 7.1.1.3.5

اضرب $- 4$ في $0.\overline{1}$ .

$0.\overline{1} - 0.\overline{4} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

خطوة 7.1.1.3.6

اطرح $0.\overline{4}$ من $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{3} - 17 \cdot 0.\overline{3} + 6$

خطوة 7.1.1.3.7

اضرب $- 17$ في $0.\overline{3}$ .

$- 0.\overline{3} - 5.\overline{6} + 6$

خطوة 7.1.1.3.8

اطرح $5.\overline{6}$ من $- 0.\overline{3}$ .

$- 6 + 6$

خطوة 7.1.1.3.9

أضف $- 6$ و $6$ .

$0$

خطوة 7.1.1.4

بما أن $0.\overline{3}$ جذر معروف، اقسِم متعدد الحدود على $3 x - 1$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6}{3 x - 1}$

خطوة 7.1.1.5

اقسِم $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ على $3 x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1.5.1

عيّن متعددات الحدود التي ستتم قسمتها. وفي حالة عدم وجود حد لكل أُس، أدخل حدًا واحدًا بقيمة $0$ .

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$4 x^{2}$

$17 x$

$6$

خطوة 7.1.1.5.2

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $3 x^{3}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$

خطوة 7.1.1.5.3

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

خطوة 7.1.1.5.4

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $3 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

خطوة 7.1.1.5.5

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

خطوة 7.1.1.5.6

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

خطوة 7.1.1.5.7

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 3 x^{2}$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$

خطوة 7.1.1.5.8

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

خطوة 7.1.1.5.9

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 3 x^{2} + x$

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

خطوة 7.1.1.5.10

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$

خطوة 7.1.1.5.11

أخرِج الحدود التالية من المقسوم الأصلي لأسفل نحو المقسوم الحالي.

				$x^{2}$	-	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

خطوة 7.1.1.5.12

اقسِم الحد ذا أعلى رتبة في المقسوم $- 18 x$ على الحد ذي أعلى رتبة في المقسوم عليه $3 x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$

خطوة 7.1.1.5.13

اضرب حد ناتج القسمة الجديد في المقسوم عليه.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							-	$18 x$	+	$6$

خطوة 7.1.1.5.14

يلزم طرح العبارة من المقسوم، لذا غيّر جميع العلامات في $- 18 x + 6$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$

خطوة 7.1.1.5.15

بعد تغيير العلامات، أضف المقسوم الأخير من متعدد الحدود المضروب فيه لإيجاد المقسوم الجديد.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$17 x$	+	$6$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$17 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$
							-	$18 x$	+	$6$
							+	$18 x$	-	$6$
										$0$

خطوة 7.1.1.5.16

بما أن الباقي يساوي $0$ ، إذن الإجابة النهائية هي ناتج القسمة.

$x^{2} - x - 6$

خطوة 7.1.1.6

اكتب $3 x^{3} - 4 x^{2} - 17 x + 6$ في صورة مجموعة من العوامل.

$(3 x - 1) (x^{2} - x - 6) = 0$

خطوة 7.1.2

حلّل $x^{2} - x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1

حلّل $x^{2} - x - 6$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.2.1.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 6$ ومجموعهما $- 1$ .

$- 3, 2$

خطوة 7.1.2.1.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$(3 x - 1) ((x - 3) (x + 2)) = 0$

خطوة 7.1.2.2

احذِف الأقواس غير الضرورية.

$(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$

خطوة 7.2

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 3 = 0$

$x + 2 = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة العبارة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

عيّن قيمة $3 x - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$3 x - 1 = 0$

خطوة 7.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $3 x - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.1

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$3 x = 1$

خطوة 7.3.2.2

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $3 x = 1$ على $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 7.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

خطوة 7.3.2.2.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

خطوة 7.4

عيّن قيمة العبارة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

عيّن قيمة $x - 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 3 = 0$

خطوة 7.4.2

أضف $3$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 3$

خطوة 7.5

عيّن قيمة العبارة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

عيّن قيمة $x + 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 2 = 0$

خطوة 7.5.2

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 7.6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(3 x - 1) (x - 3) (x + 2) = 0$ صحيحة.

$x = \frac{1}{3}, 3, - 2$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x - 2) (x - \frac{1}{3}) (x - 3) (x + 2)$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$ .

$x = 2, \frac{1}{3}, 3, - 2$

خطوة 10