ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$1 + \frac{2}{x + 1} \leq \frac{2}{x}$

خطوة 1

اطرح $\frac{2}{x}$ من كلا طرفي المتباينة.

$1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

خطوة 2

بسّط $1 + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{x + 1}{x + 1} + \frac{2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

خطوة 2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{x + 1 + 2}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

خطوة 2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} - \frac{2}{x} \leq 0$

خطوة 2.4

لكتابة $\frac{x + 3}{x + 1}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \leq 0$

خطوة 2.5

لكتابة $- \frac{2}{x}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x + 3}{x + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

خطوة 2.6

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 1) x$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

اضرب $\frac{x + 3}{x + 1}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} \leq 0$

خطوة 2.6.2

اضرب $\frac{2}{x}$ في $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{(x + 3) x}{(x + 1) x} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.6.3

أعِد ترتيب عوامل $(x + 1) x$ .

$\frac{(x + 3) x}{x (x + 1)} - \frac{2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 3) x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.8.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 (x + 1)}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.8.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2 \cdot 1}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.8.4

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{x^{2} + 3 x - 2 x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.8.5

اطرح $2 x$ من $3 x$ .

$\frac{x^{2} + x - 2}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 2.8.6

حلّل $x^{2} + x - 2$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.6.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $- 2$ ومجموعهما $1$ .

$- 1, 2$

خطوة 2.8.6.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)} \leq 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 4

أضف $1$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 1$

خطوة 5

اطرح $2$ من كلا المتعادلين.

$x = - 2$

خطوة 6

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 7

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = 0$

$x = 1$

$x = - 2$

$x = - 1$

خطوة 8

وحّد الحلول.

$x = 0, 1, - 2, - 1$

خطوة 9

أوجِد نطاق $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x (x + 1)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$x (x + 1) = 0$

خطوة 9.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

خطوة 9.2.2

عيّن قيمة $x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x = 0$

خطوة 9.2.3

عيّن قيمة العبارة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.2.3.1

عيّن قيمة $x + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 1 = 0$

خطوة 9.2.3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$x = - 1$

خطوة 9.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $x (x + 1) = 0$ صحيحة.

$x = 0, - 1$

خطوة 9.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

خطوة 10

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 2$

$- 2 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

خطوة 11

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 4$

خطوة 11.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 4$ في المتباينة الأصلية.

$1 + \frac{2}{(- 4) + 1} \leq \frac{2}{- 4}$

خطوة 11.1.3

الطرف الأيسر $0.\overline{3}$ أكبر من الطرف الأيمن $- 0.5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.2

اختبر قيمة في الفترة $- 2 < x < - 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 2 < x < - 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 1.5$

خطوة 11.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 1.5$ في المتباينة الأصلية.

$1 + \frac{2}{(- 1.5) + 1} \leq \frac{2}{- 1.5}$

خطوة 11.2.3

الطرف الأيسر $- 3$ أصغر من الطرف الأيمن $- 1.\overline{3}$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.3

اختبر قيمة في الفترة $- 1 < x < 0$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.3.1

اختر قيمة من الفترة $- 1 < x < 0$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 0.5$

خطوة 11.3.2

استبدِل $x$ بـ $- 0.5$ في المتباينة الأصلية.

$1 + \frac{2}{(- 0.5) + 1} \leq \frac{2}{- 0.5}$

خطوة 11.3.3

الطرف الأيسر $5$ أكبر من الطرف الأيمن $- 4$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.4

اختبر قيمة في الفترة $0 < x < 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.4.1

اختر قيمة من الفترة $0 < x < 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0.5$

خطوة 11.4.2

استبدِل $x$ بـ $0.5$ في المتباينة الأصلية.

$1 + \frac{2}{(0.5) + 1} \leq \frac{2}{0.5}$

خطوة 11.4.3

الطرف الأيسر $2.\overline{3}$ أصغر من الطرف الأيمن $4$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 11.5

اختبر قيمة في الفترة $x > 1$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.5.1

اختر قيمة من الفترة $x > 1$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 11.5.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$1 + \frac{2}{(4) + 1} \leq \frac{2}{4}$

خطوة 11.5.3

الطرف الأيسر $1.4$ أكبر من الطرف الأيمن $0.5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 11.6

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < - 1$ صحيحة

$- 1 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 1$ صحيحة

$x > 1$ خطأ

$x < - 2$ خطأ

$- 2 < x < - 1$ صحيحة

$- 1 < x < 0$ خطأ

$0 < x < 1$ صحيحة

$x > 1$ خطأ

خطوة 12

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 2 \leq x < - 1$ أو $0 < x \leq 1$

خطوة 13

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$[- 2, - 1) \cup (0, 1]$

خطوة 14