ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$

خطوة 1

إذا كانت دالة متعددة الحدود لها معاملات عدد صحيح، فإن كل صفر نسبي سيكون بالصيغة $\frac{p}{q}$ والتي تكون فيها $p$ هي عامل الثابت و $q$ هي عامل المعامل الرئيسي.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

$q = \pm 1$

خطوة 2

أوجِد كل تركيبة من تركيبات $\pm \frac{p}{q}$ . هذه هي الجذور المحتملة للدالة متعددة الحدود.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$

خطوة 3

عوّض بالجذور الممكنة واحدًا تلو الآخر في متعدد الحدود لإيجاد الجذور الفعلية. وبسّط للتحقق مما إذا كانت القيمة تساوي $0$ ، وهو ما يعني أنها تمثل جذرًا.

${(- 9)}^{3} + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

خطوة 4

بسّط العبارة. في هذه الحالة، العبارة تساوي $0$ ، إذن $x = - 9$ هي جذر متعدد الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

ارفع $- 9$ إلى القوة $3$ .

$- 729 + 7 {(- 9)}^{2} - 16 \cdot - 9 + 18$

خطوة 4.1.2

ارفع $- 9$ إلى القوة $2$ .

$- 729 + 7 \cdot 81 - 16 \cdot - 9 + 18$

خطوة 4.1.3

اضرب $7$ في $81$ .

$- 729 + 567 - 16 \cdot - 9 + 18$

خطوة 4.1.4

اضرب $- 16$ في $- 9$ .

$- 729 + 567 + 144 + 18$

خطوة 4.2

بسّط بجمع الأعداد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $- 729$ و $567$ .

$- 162 + 144 + 18$

خطوة 4.2.2

أضف $- 162$ و $144$ .

$- 18 + 18$

خطوة 4.2.3

أضف $- 18$ و $18$ .

$0$

خطوة 5

بما أن $- 9$ جذر معروف، اقسم متعدد الحدود على $x + 9$ لإيجاد ناتج قسمة متعدد الحدود. ويمكن بعد ذلك استخدام متعدد الحدود لإيجاد الجذور المتبقية.

$\frac{x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18}{x + 9}$

خطوة 6

بعد ذلك، أوجِد جذور متعدد الحدود المتبقي. انخفض ترتيب متعدد الحدود بمقدار $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

ضَع الأعداد التي تمثل المقسوم عليه والمقسوم في شكل يشبه القسمة.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

خطوة 6.2

يُوضع العدد الأول في المقسوم $(1)$ في الموضع الأول من المساحة الناتجة (أسفل الخط الأفقي).

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$

	$1$

خطوة 6.3

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(1)$ في المقسوم عليه $(- 9)$ وضَع نتيجة $(- 9)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(7)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$

خطوة 6.4

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$
	$1$	$- 2$

خطوة 6.5

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(- 2)$ في المقسوم عليه $(- 9)$ وضَع نتيجة $(18)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(- 16)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$

خطوة 6.6

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$
	$1$	$- 2$	$2$

خطوة 6.7

اضرب المُدخل الأحدث في النتيجة $(2)$ في المقسوم عليه $(- 9)$ وضَع نتيجة $(- 18)$ أسفل الحد التالي في المقسوم $(18)$ .

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$

خطوة 6.8

أضف حاصل الضرب والعدد من المقسوم وضع النتيجة في الموضع التالي على خط النتيجة.

$- 9$	$1$	$7$	$- 16$	$18$
		$- 9$	$18$	$- 18$
	$1$	$- 2$	$2$	$0$

خطوة 6.9

تصبح جميع الأعداد ماعدا العدد الأخير معاملات خارج القسمة في متعدد الحدود. وتكون القيمة الأخيرة في خط النتيجة هي الباقي.

$1 x^{2} + - 2 x + 2$

خطوة 6.10

بسّط ناتج قسمة متعدد الحدود.

$x^{2} - 2 x + 2$

خطوة 7

أوجِد حل المعادلة لإيجاد أي جذور متبقية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $a = 1$ و $b = - 2$ و $c = 2$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.3.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.3.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

خطوة 7.3.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

خطوة 7.4

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.4.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.4.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

خطوة 7.4.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

خطوة 7.4.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = 1 + i$

خطوة 7.5

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

ارفع $- 2$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2

اضرب $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.2.1

اضرب $- 4$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.2.2

اضرب $- 4$ في $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.3

اطرح $8$ من $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.4

أعِد كتابة $- 4$ بالصيغة $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.5

أعِد كتابة $\sqrt{- 1 (4)}$ بالصيغة $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.6

أعِد كتابة $\sqrt{- 1}$ بالصيغة $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.7

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.8

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.1.9

انقُل $2$ إلى يسار $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

خطوة 7.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

خطوة 7.5.3

بسّط $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

خطوة 7.5.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = 1 - i$

خطوة 7.6

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = 1 + i, 1 - i$

خطوة 8

يمكن كتابة متعدد الحدود على هيئة مجموعة من العوامل الخطية.

$(x + 9) (x - 1 - i) (x - 1 + i)$

خطوة 9

هذه هي جذور (أصفار) متعدد الحدود $x^{3} + 7 x^{2} - 16 x + 18$ .

$x = - 9, 1 + i, 1 - i$

خطوة 10