ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ في صورة معادلة.

$y = 1 + \sqrt{1 + x}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = 1 + \sqrt{1 + y}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + \sqrt{1 + y} = x$ .

$1 + \sqrt{1 + y} = x$

خطوة 3.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$\sqrt{1 + y} = x - 1$

خطوة 3.3

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{1 + y}}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + y}$ في صورة ${(1 + y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

بسّط ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(1 + y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(1 + y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(1 + y)}^{1} = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.2.1.2

بسّط.

$1 + y = {(x - 1)}^{2}$

خطوة 3.4.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1

بسّط ${(x - 1)}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.1

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$1 + y = (x - 1) (x - 1)$

خطوة 3.4.3.1.2

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + y = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

خطوة 3.4.3.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

خطوة 3.4.3.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$1 + y = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.3.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$1 + y = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$1 + y = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$1 + y = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

خطوة 3.4.3.1.3.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 + y = x^{2} - x - x + 1$

خطوة 3.4.3.1.3.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$1 + y = x^{2} - 2 x + 1$

خطوة 3.5

انقُل كل الحدود التي لا تحتوي على $y$ إلى المتعادل الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = x^{2} - 2 x + 1 - 1$

خطوة 3.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$y = x^{2} - 2 x + 0$

خطوة 3.5.2.2

أضف $x^{2} - 2 x$ و $0$ .

$y = x^{2} - 2 x$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ هي معكوس $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x})$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = {(1 + \sqrt{1 + x})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

أعِد كتابة ${(1 + \sqrt{1 + x})}^{2}$ بالصيغة $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = (1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.2

وسّع $(1 + \sqrt{1 + x}) (1 + \sqrt{1 + x})$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 (1 + \sqrt{1 + x}) + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} (1 + \sqrt{1 + x}) - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.1

اضرب $1$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + 1 \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.2

اضرب $\sqrt{1 + x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.3

اضرب $\sqrt{1 + x}$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.4

اضرب $\sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.4.1

ارفع $\sqrt{1 + x}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.4.2

ارفع $\sqrt{1 + x}$ إلى القوة $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} \sqrt{1 + x} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.4.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{1 + 1} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.4.4

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {\sqrt{1 + x}}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.5

أعِد كتابة ${\sqrt{1 + x}}^{2}$ بالصيغة $1 + x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.5.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 + x}$ في صورة ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {({(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.5.2

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.5.3

اجمع $\frac{1}{2}$ و $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.3.1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.5.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.1.5.5

بسّط.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 1 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + 1 + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.2

أضف $1$ و $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + \sqrt{1 + x} + \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.3.3

أضف $\sqrt{1 + x}$ و $\sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 (1 + \sqrt{1 + x})$

خطوة 5.2.3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{1 + x}$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 - 2 \sqrt{1 + x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 0 + 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

خطوة 5.2.4.2

أضف $0$ و $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = 2 \sqrt{1 + x} + x - 2 \sqrt{1 + x}$

خطوة 5.2.4.3

اطرح $2 \sqrt{1 + x}$ من $2 \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x + 0$

خطوة 5.2.4.4

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (1 + \sqrt{1 + x}) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (x^{2} - 2 x)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

خطوة 5.3.3

احذِف الأقواس.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 + x^{2} - 2 x}$

خطوة 5.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة المربع الكامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1.1

أعِد ترتيب الحدود.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1 - 2 x + x^{2}}$

خطوة 5.3.4.1.2

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $1^{2}$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 x + x^{2}}$

خطوة 5.3.4.1.3

تحقق من أن الحد الأوسط يساوي ضعف حاصل ضرب الأعداد المربعة في الحد الأول والحد الثالث.

$2 x = 2 \cdot 1 \cdot x$

خطوة 5.3.4.1.4

أعِد كتابة متعدد الحدود.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot x + x^{2}}$

خطوة 5.3.4.1.5

حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة ثلاثي حدود المربع الكامل $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ ، حيث $a = 1$ و $b = x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + \sqrt{{(1 - x)}^{2}}$

خطوة 5.3.4.2

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$f (x^{2} - 2 x) = 1 + 1 - x$

خطوة 5.3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

أضف $1$ و $1$ .

$f (x^{2} - 2 x) = 2 - x$

خطوة 5.3.5.2

أعِد ترتيب $2$ و $- x$ .

$f (x^{2} - 2 x) = - x + 2$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$ هي معكوس $f (x) = 1 + \sqrt{1 + x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2 x$