ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$

خطوة 1

اقسِم كل حد في $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ على $\sec (\frac{θ}{2})$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

اقسِم كل حد في $\sec (\frac{θ}{2}) = \cos (\frac{θ}{2})$ على $\sec (\frac{θ}{2})$ .

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

خطوة 1.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $\sec (\frac{θ}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\sec (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})} = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

خطوة 1.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\sec (\frac{θ}{2})}$

خطوة 1.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $\sec (\frac{θ}{2})$ من حيث الجيوب وجيوب التمام.

$1 = \frac{\cos (\frac{θ}{2})}{\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}}$

خطوة 1.3.2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{1}{\cos (\frac{θ}{2})}$ .

$1 = \cos (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

خطوة 1.3.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.3.1

ارفع $\cos (\frac{θ}{2})$ إلى القوة $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos (\frac{θ}{2})$

خطوة 1.3.3.2

ارفع $\cos (\frac{θ}{2})$ إلى القوة $1$ .

$1 = \cos^{1} (\frac{θ}{2}) \cos^{1} (\frac{θ}{2})$

خطوة 1.3.3.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 = {\cos (\frac{θ}{2})}^{1 + 1}$

خطوة 1.3.3.4

أضف $1$ و $1$ .

$1 = \cos^{2} (\frac{θ}{2})$

خطوة 2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{2}) = 1$

خطوة 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm \sqrt{1}$

خطوة 4

أي جذر لـ $1$ هو $1$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = \pm 1$

خطوة 5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

خطوة 5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

خطوة 5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1, - 1$

خطوة 6

عيّن كل حل من الحلول لإيجاد قيمة $θ$ .

$\cos (\frac{θ}{2}) = 1$

$\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$

خطوة 7

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (\frac{θ}{2}) = 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$\frac{θ}{2} = \arccos (1)$

خطوة 7.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (1)$ هي $0$ .

$\frac{θ}{2} = 0$

خطوة 7.3

عيّن قيمة بسط الكسر بحيث تصبح مساوية لصفر.

$θ = 0$

خطوة 7.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

$\frac{θ}{2} = 2 π - 0$

خطوة 7.5

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

خطوة 7.5.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - 0)$

خطوة 7.5.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = 2 (2 π - 0)$

خطوة 7.5.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1

بسّط $2 (2 π - 0)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.2.1.1

اطرح $0$ من $2 π$ .

$θ = 2 (2 π)$

خطوة 7.5.2.2.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$θ = 4 π$

خطوة 7.6

أوجِد فترة $\cos (\frac{θ}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 7.6.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 7.6.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 7.6.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 7.6.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 7.7

فترة دالة $\cos (\frac{θ}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 8

أوجِد قيمة $θ$ في $\cos (\frac{θ}{2}) = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج $θ$ من داخل جيب التمام.

$\frac{θ}{2} = \arccos (- 1)$

خطوة 8.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

القيمة الدقيقة لـ $\arccos (- 1)$ هي $π$ .

$\frac{θ}{2} = π$

خطوة 8.3

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

خطوة 8.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{θ}{2} = 2 π$

خطوة 8.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = 2 π$

خطوة 8.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من $2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

$\frac{θ}{2} = 2 π - π$

خطوة 8.6

أوجِد قيمة $θ$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.1

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

خطوة 8.6.2

بسّط كلا المتعادلين.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.1.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{θ}{2} = 2 (2 π - π)$

خطوة 8.6.2.1.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$θ = 2 (2 π - π)$

خطوة 8.6.2.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.6.2.2.1

اطرح $π$ من $2 π$ .

$θ = 2 π$

خطوة 8.7

أوجِد فترة $\cos (\frac{θ}{2})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 8.7.2

استبدِل $b$ بـ $\frac{1}{2}$ في القاعدة للفترة.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

خطوة 8.7.3

$\frac{1}{2}$ تساوي تقريبًا $0.5$ وهو عدد موجب، لذا أزِل القيمة المطلقة

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

خطوة 8.7.4

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$2 π \cdot 2$

خطوة 8.7.5

اضرب $2$ في $2$ .

$4 π$

خطوة 8.8

فترة دالة $\cos (\frac{θ}{2})$ هي $4 π$ ، لذا تتكرر القيم كل $4 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

$θ = 2 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 9

اسرِد جميع الحلول.

$θ = 4 π n, 4 π + 4 π n, 2 π + 4 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$

خطوة 10

وحّد الإجابات.

$θ = 2 π n$ ، لأي عدد صحيح $n$