ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ في صورة معادلة.

$y = \sqrt{16 - x^{2}}$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \sqrt{16 - y^{2}}$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\sqrt{16 - y^{2}} = x$ .

$\sqrt{16 - y^{2}} = x$

خطوة 3.2

لحذف الجذر في المتعادل الأيسر، ربّع كلا المتعادلين.

${\sqrt{16 - y^{2}}}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3

بسّط كل متعادل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{16 - y^{2}}$ في صورة ${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط ${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

اضرب الأُسس في ${({(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1.2.1

ألغِ العامل المشترك.

${(16 - y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.1.2.2

أعِد كتابة العبارة.

${(16 - y^{2})}^{1} = x^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

بسّط.

$16 - y^{2} = x^{2}$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

اطرح $16$ من كلا المتعادلين.

$- y^{2} = x^{2} - 16$

خطوة 3.4.2

اقسِم كل حد في $- y^{2} = x^{2} - 16$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.1

اقسِم كل حد في $- y^{2} = x^{2} - 16$ على $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 3.4.2.2.2

اقسِم $y^{2}$ على $1$ .

$y^{2} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.2.3.1.1

انقُل العدد سالب واحد من قاسم $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.2

أعِد كتابة $- 1 \cdot x^{2}$ بالصيغة $- x^{2}$ .

$y^{2} = - x^{2} + \frac{- 16}{- 1}$

خطوة 3.4.2.3.1.3

اقسِم $- 16$ على $- 1$ .

$y^{2} = - x^{2} + 16$

خطوة 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 16}$

خطوة 3.4.4

بسّط $\pm \sqrt{- x^{2} + 16}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.4.1.1

أعِد كتابة $16$ بالصيغة $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- x^{2} + 4^{2}}$

خطوة 3.4.4.1.2

أعِد ترتيب $- x^{2}$ و $4^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

خطوة 3.4.4.2

بما أن كلا الحدّين هما مربعان كاملان، حلّل إلى عوامل باستخدام قاعدة الفرق بين مربعين، $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ حيث $a = 4$ و $b = x$ .

$y = \pm \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 3.4.5

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.5.1

أولاً، استخدِم القيمة الموجبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الأول.

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 3.4.5.2

بعد ذلك، استخدِم القيمة السالبة لـ $\pm$ لإيجاد الحل الثاني.

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 3.4.5.3

الحل الكامل هو ناتج كلا الجزأين الموجب والسالب للحل.

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

$y = - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ هي معكوس $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

نطاق المعكوس هو مدى الدالة الأصلية والعكس صحيح. أوجِد نطاق ومدى $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ و $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ وقارن بينهما.

خطوة 5.2

أوجِد مدى $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

المدى هو مجموعة جميع قيم $y$ الصالحة. استخدِم الرسم البياني لإيجاد المدى.

ترميز الفترة:

$[0, 4]$

خطوة 5.3

أوجِد نطاق $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن قيمة المجذور في $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ بحيث تصبح أكبر من أو تساوي $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة معرّفة.

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

خطوة 5.3.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$4 + x = 0$

$4 - x = 0$

خطوة 5.3.2.2

عيّن قيمة العبارة $4 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.2.1

عيّن قيمة $4 + x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 + x = 0$

خطوة 5.3.2.2.2

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$x = - 4$

خطوة 5.3.2.3

عيّن قيمة العبارة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.1

عيّن قيمة $4 - x$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$4 - x = 0$

خطوة 5.3.2.3.2

أوجِد قيمة $x$ في $4 - x = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.1

اطرح $4$ من كلا المتعادلين.

$- x = - 4$

خطوة 5.3.2.3.2.2

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.1

اقسِم كل حد في $- x = - 4$ على $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.2.1

قسمة قيمتين سالبتين على بعضهما البعض ينتج عنها قيمة موجبة.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.2.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

خطوة 5.3.2.3.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.3.2.2.3.1

اقسِم $- 4$ على $- 1$ .

$x = 4$

خطوة 5.3.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(4 + x) (4 - x) \geq 0$ صحيحة.

$x = - 4, 4$

خطوة 5.3.2.5

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 4$

$- 4 < x < 4$

$x > 4$

خطوة 5.3.2.6

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 5.3.2.6.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$(4 - 6) (4 - (- 6)) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.1.3

الطرف الأيسر $- 20$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.6.2

اختبر قيمة في الفترة $- 4 < x < 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 4 < x < 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 5.3.2.6.2.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 0) (4 - (0)) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.2.3

الطرف الأيسر $16$ أكبر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 5.3.2.6.3

اختبر قيمة في الفترة $x > 4$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.6.3.1

اختر قيمة من الفترة $x > 4$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 6$

خطوة 5.3.2.6.3.2

استبدِل $x$ بـ $6$ في المتباينة الأصلية.

$(4 + 6) (4 - (6)) \geq 0$

خطوة 5.3.2.6.3.3

الطرف الأيسر $- 20$ أصغر من الطرف الأيمن $0$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 5.3.2.6.4

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

$x < - 4$ خطأ

$- 4 < x < 4$ صحيحة

$x > 4$ خطأ

خطوة 5.3.2.7

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 4 \leq x \leq 4$

خطوة 5.3.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$[- 4, 4]$

خطوة 5.4

بما أن نطاق $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ لا يساوي مدى $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \sqrt{(4 + x) (4 - x)}, - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ ليست معكوس $f (x) = \sqrt{16 - x^{2}}$ .

لا يوجد معكوس

خطوة 6