ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = {(x - 6)}^{2} {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1

بسّط وأعِد ترتيب متعدد الحدود تنازليًا لاستخدام قاعدة ديكارت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أعِد كتابة ${(x - 6)}^{2}$ بالصيغة $(x - 6) (x - 6)$ .

$(x - 6) (x - 6) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.2

وسّع $(x - 6) (x - 6)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x (x - 6) - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 (x - 6)) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x \cdot x + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.3.1.2

انقُل $- 6$ إلى يسار $x$ .

$(x^{2} - 6 \cdot x - 6 x - 6 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.3.1.3

اضرب $- 6$ في $- 6$ .

$(x^{2} - 6 x - 6 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.3.2

اطرح $6 x$ من $- 6 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) {(x + 2)}^{2}$

خطوة 1.4

أعِد كتابة ${(x + 2)}^{2}$ بالصيغة $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) ((x + 2) (x + 2))$

خطوة 1.5

وسّع $(x + 2) (x + 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x (x + 2) + 2 (x + 2))$

خطوة 1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))$

خطوة 1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(x^{2} - 12 x + 36) (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

خطوة 1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)$

خطوة 1.6.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)$

خطوة 1.6.1.3

اضرب $2$ في $2$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)$

خطوة 1.6.2

أضف $2 x$ و $2 x$ .

$(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$

خطوة 1.7

وسّع $(x^{2} - 12 x + 36) (x^{2} + 4 x + 4)$ بضرب كل حد في العبارة الأولى في كل حد في العبارة الثانية.

$x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1

اضرب $x^{2}$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.1.1

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.1.2

أضف $2$ و $2$ .

$x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.3

اضرب $x^{2}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.3.1

انقُل $x$ .

$x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.3.2

اضرب $x$ في $x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.3.3

أضف $1$ و $2$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.4

انقُل $4$ إلى يسار $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} - 12 x \cdot x^{2} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.5

اضرب $x$ في $x^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.5.1

انقُل $x^{2}$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.5.2

اضرب $x^{2}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.5.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 (x^{2} x^{1}) - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{2 + 1} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.5.3

أضف $2$ و $1$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 x (4 x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.6

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x \cdot x - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.7

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.1.7.1

انقُل $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 (x \cdot x) - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.7.2

اضرب $x$ في $x$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 12 \cdot 4 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.8

اضرب $- 12$ في $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 12 x \cdot 4 + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.9

اضرب $4$ في $- 12$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 36 (4 x) + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.10

اضرب $4$ في $36$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 36 \cdot 4$

خطوة 1.8.1.11

اضرب $36$ في $4$ .

$x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} - 12 x^{3} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

خطوة 1.8.2

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.8.2.1

اطرح $12 x^{3}$ من $4 x^{3}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} + 4 x^{2} - 48 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

خطوة 1.8.2.2

اطرح $48 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 44 x^{2} - 48 x + 36 x^{2} + 144 x + 144$

خطوة 1.8.2.3

أضف $- 44 x^{2}$ و $36 x^{2}$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} - 48 x + 144 x + 144$

خطوة 1.8.2.4

أضف $- 48 x$ و $144 x$ .

$x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

خطوة 2

لإيجاد عدد الجذور الموجبة الممكن، انظر إلى علامات المعاملات واحسِب عدد المرات التي تتغير فيها علامات المعاملات من موجب إلى سالب أو من سالب إلى موجب.

$f (x) = x^{4} - 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 x + 144$

خطوة 3

نظرًا إلى وجود $2$ من التغييرات في العلامة من الحد الأعلى ترتيبًا إلى الحد الأدنى، فهناك على الأكثر $2$ من الجذور الموجبة (قاعدة ديكارت للعلامات). ويمكن إيجاد الأعداد الأخرى الممكنة للجذور الموجبة بطرح أزواج الجذور $(2 - 2)$ .

الجذور الموجبة: $2$ أو $0$

خطوة 4

لإيجاد عدد الجذور السالبة الممكن، استبدِل $x$ بـ $- x$ وكرِّر مقارنة العلامة.

$f (- x) = {(- x)}^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$f (- x) = {(- 1)}^{4} x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.2

ارفع $- 1$ إلى القوة $4$ .

$f (- x) = 1 x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.3

اضرب $x^{4}$ في $1$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 {(- x)}^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.4

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 ({(- 1)}^{3} x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.5

ارفع $- 1$ إلى القوة $3$ .

$f (- x) = x^{4} - 8 (- x^{3}) - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.6

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 {(- x)}^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.7

طبّق قاعدة الضرب على $- x$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 ({(- 1)}^{2} x^{2}) + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.8

ارفع $- 1$ إلى القوة $2$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 (1 x^{2}) + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.9

اضرب $x^{2}$ في $1$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} + 96 (- x) + 144$

خطوة 5.10

اضرب $- 1$ في $96$ .

$f (- x) = x^{4} + 8 x^{3} - 8 x^{2} - 96 x + 144$

خطوة 6

نظرًا إلى وجود $2$ من التغييرات في العلامة من الحد الأعلى ترتيبًا إلى الحد الأدنى، فهناك على الأكثر $2$ من الجذور السالبة (قاعدة ديكارت للعلامات). ويمكن إيجاد الأعداد الأخرى الممكنة للجذور السالبة بطرح أزواج الجذور (على سبيل المثال $2 - 2$ ).

الجذور السالبة: $2$ أو $0$

خطوة 7

العدد الممكن للجذور الموجبة هو $2$ أو $0$ ، والعدد الممكن للجذور السالبة هو $2$ أو $0$ .

الجذور الموجبة: $2$ أو $0$

الجذور السالبة: $2$ أو $0$