ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{k = 1}^{8} 4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية المنتهية باستخدام القاعدة $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{k}$ و $a_{k + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{4 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ و ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ من ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

خطوة 2.2.3

أضف $k$ و $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

خطوة 2.2.5

اطرح $k$ من $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$r = \frac{2}{3}$

خطوة 3

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بـ $1$ عن $k$ في $4 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

خطوة 3.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = 4 {(\frac{2}{3})}^{0}$

خطوة 3.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$a = 4 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

خطوة 3.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 4 \frac{1}{3^{0}}$

خطوة 3.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

خطوة 3.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = 4 \cdot 1$

خطوة 3.2.6

اضرب $4$ في $1$ .

$a = 4$

خطوة 4

عوّض بقيم النسبة والحد الأول وعدد الحدود في قاعدة المجموع.

$4 \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

اضرب $\frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}}$ في $\frac{3}{3}$ .

$4 (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{8}}{1 - \frac{2}{3}})$

خطوة 5.1.2

اجمع.

$4 \frac{3 (1 - {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 (1 - \frac{2}{3})}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{2}{3})}$

خطوة 5.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2}{3}$ إلى بسط الكسر.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

خطوة 5.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 + 3 (\frac{- 2}{3})}$

خطوة 5.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{3 \cdot 1 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $3$ في $1$ .

$4 \frac{3 + 3 (- {(\frac{2}{3})}^{8})}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{2}{3}$ .

$4 \frac{3 + 3 (- \frac{2^{8}}{3^{8}})}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.3.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{2^{8}}{3^{8}}$ إلى بسط الكسر.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3^{8}}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.3.2

أخرِج العامل $3$ من $3^{8}$ .

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.3.3

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{3 + 3 \frac{- 2^{8}}{3 \cdot 3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.3.4

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{3 + \frac{- 2^{8}}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.4

ارفع $2$ إلى القوة $8$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{3^{7}}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.5

ارفع $3$ إلى القوة $7$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 1 \cdot 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.6

اضرب $- 1$ في $256$ .

$4 \frac{3 + \frac{- 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \frac{3 - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.8

لكتابة $3$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{3 \cdot \frac{2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.9

اجمع $3$ و $\frac{2187}{2187}$ .

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187}{2187} - \frac{256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.10

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{\frac{3 \cdot 2187 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.11

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.11.1

اضرب $3$ في $2187$ .

$4 \frac{\frac{6561 - 256}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.4.11.2

اطرح $256$ من $6561$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 \cdot 1 - 2}$

خطوة 5.5

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

اضرب $3$ في $1$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{3 - 2}$

خطوة 5.5.2

اطرح $2$ من $3$ .

$4 \frac{\frac{6305}{2187}}{1}$

خطوة 5.6

اقسِم $\frac{6305}{2187}$ على $1$ .

$4 (\frac{6305}{2187})$

خطوة 5.7

اضرب $4 (\frac{6305}{2187})$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.7.1

اجمع $4$ و $\frac{6305}{2187}$ .

$\frac{4 \cdot 6305}{2187}$

خطوة 5.7.2

اضرب $4$ في $6305$ .

$\frac{25220}{2187}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{25220}{2187}$

الصيغة العشرية:

$11.53177869 \dots$

صيغة العدد الذي به كسر:

$11 \frac{1163}{2187}$