ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

خطوة 1

بسّط كل حد في المعادلة لتعيين قيمة الطرف الأيمن بحيث تصبح مساوية لـ $1$ . تتطلب الصيغة القياسية للقطع الناقص أو القطع الزائد أن يكون المتعادل الأيمن $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{144} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{25} = 1$

خطوة 2

هذه الصيغة هي صيغة القطع الزائد. استخدِم هذه الصيغة لتحديد القيم المُستخدمة لإيجاد رؤوس القطع الزائد وخطوط تقاربه.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

خطوة 3

طابِق القيم الموجودة في هذا القطع الزائد بقيم الصيغة القياسية. يمثل المتغير $h$ الإزاحة الأفقية x عن نقطة الأصل، ويمثل $k$ الإزاحة الرأسية y عن نقطة الأصل، $a$ .

$a = 12$

$b = 5$

$k = 2$

$h = - 3$

خطوة 4

يتبع مركز القطع الزائد الصيغة $(h, k)$ . عوّض بقيمتَي $h$ و $k$ .

$(- 3, 2)$

خطوة 5

أوجِد $c$ ، المسافة من المركز إلى بؤرة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أوجِد المسافة من المركز إلى بؤرة القطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

خطوة 5.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}$

خطوة 5.3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{144 + {(5)}^{2}}$

خطوة 5.3.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\sqrt{144 + 25}$

خطوة 5.3.3

أضف $144$ و $25$ .

$\sqrt{169}$

خطوة 5.3.4

أعِد كتابة $169$ بالصيغة $13^{2}$ .

$\sqrt{13^{2}}$

خطوة 5.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$13$

خطوة 6

أوجِد الرؤوس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

يمكن إيجاد الرأس الأول لقطع زائد بجمع $a$ مع $h$ .

$(h + a, k)$

خطوة 6.2

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(9, 2)$

خطوة 6.3

يمكن إيجاد الرأس الثاني لقطع زائد بطرح $a$ من $h$ .

$(h - a, k)$

خطوة 6.4

عوّض بقيم $h$ و $a$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 15, 2)$

خطوة 6.5

تتبع رؤوس القطع الزائد صيغة $(h \pm a, k)$ . القطوع الزائدة لها رأسان.

$(9, 2), (- 15, 2)$

خطوة 7

أوجِد البؤر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

يمكن إيجاد البؤرة الأولى لقطع زائد بجمع $c$ مع $h$ .

$(h + c, k)$

خطوة 7.2

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(10, 2)$

خطوة 7.3

يمكن إيجاد البؤرة الثانية لقطع زائد بطرح $c$ من $h$ .

$(h - c, k)$

خطوة 7.4

عوّض بقيم $h$ و $c$ و $k$ المعروفة في القاعدة وبسّط.

$(- 16, 2)$

خطوة 7.5

تتبع بؤر القطع الزائد صيغة $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . القطوع الزائدة لها بؤرتان.

$(10, 2), (- 16, 2)$

خطوة 8

أوجِد الاختلاف المركزي.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

أوجِد الاختلاف المركزي باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

خطوة 8.2

عوّض بقيمتَي $a$ و $b$ في القاعدة.

$\frac{\sqrt{{(12)}^{2} + {(5)}^{2}}}{12}$

خطوة 8.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.3.1

ارفع $12$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 5^{2}}}{12}$

خطوة 8.3.2

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{\sqrt{144 + 25}}{12}$

خطوة 8.3.3

أضف $144$ و $25$ .

$\frac{\sqrt{169}}{12}$

خطوة 8.3.4

أعِد كتابة $169$ بالصيغة $13^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13^{2}}}{12}$

خطوة 8.3.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر، بافتراض أن الأعداد حقيقية موجبة.

$\frac{13}{12}$

خطوة 9

أوجِد المعلمة البؤرية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

أوجِد قيمة المعلمة البؤرية للقطع الزائد باستخدام القاعدة التالية.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

خطوة 9.2

عوّض بقيمتَي $b$ و $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ في القاعدة.

$\frac{5^{2}}{13}$

خطوة 9.3

ارفع $5$ إلى القوة $2$ .

$\frac{25}{13}$

خطوة 10

تتبع خطوط التقارب الصيغة $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ لأن هذا القطع الزائد مفتوح على اليسار واليمين.

$y = \pm \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

خطوة 11

بسّط لإيجاد خط التقارب الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

احذِف الأقواس.

$y = \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

خطوة 11.2

بسّط $\frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$y = \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

خطوة 11.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = \frac{5}{12} x + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

خطوة 11.2.1.3

اجمع $\frac{5}{12}$ و $x$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

خطوة 11.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.1.4.1

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

خطوة 11.2.1.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

خطوة 11.2.1.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2$

خطوة 11.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 11.2.3

اجمع $2$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

خطوة 11.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 11.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.2.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 8}{4}$

خطوة 11.2.5.2

أضف $5$ و $8$ .

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$

خطوة 12

بسّط لإيجاد خط التقارب الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

احذِف الأقواس.

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$

خطوة 12.2

بسّط $- \frac{5}{12} \cdot (x - (- 3)) + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.1

اضرب $- 1$ في $- 3$ .

$y = - \frac{5}{12} \cdot (x + 3) + 2$

خطوة 12.2.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$y = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

خطوة 12.2.1.3

اجمع $x$ و $\frac{5}{12}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot 3 + 2$

خطوة 12.2.1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.4.1

انقُل السالب الرئيسي في $- \frac{5}{12}$ إلى بسط الكسر.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{12} \cdot 3 + 2$

خطوة 12.2.1.4.2

أخرِج العامل $3$ من $12$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 (4)} \cdot 3 + 2$

خطوة 12.2.1.4.3

ألغِ العامل المشترك.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{3 \cdot 4} \cdot 3 + 2$

خطوة 12.2.1.4.4

أعِد كتابة العبارة.

$y = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

خطوة 12.2.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1.5.1

انقُل $5$ إلى يسار $x$ .

$y = - \frac{5 \cdot x}{12} + \frac{- 5}{4} + 2$

خطوة 12.2.1.5.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2$

خطوة 12.2.2

لكتابة $2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4}$

خطوة 12.2.3

اجمع $2$ و $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} - \frac{5}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4}$

خطوة 12.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 2 \cdot 4}{4}$

خطوة 12.2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.5.1

اضرب $2$ في $4$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{- 5 + 8}{4}$

خطوة 12.2.5.2

أضف $- 5$ و $8$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

خطوة 13

يحتوي هذا القطع الزائد على خطي تقارب.

$y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}, y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

خطوة 14

هذه القيم تمثل القيم المهمة لتمثيل القطع الزائد بيانيًا وتحليله.

المركز: $(- 3, 2)$

الرؤوس: $(9, 2), (- 15, 2)$

البؤر: $(10, 2), (- 16, 2)$

الاختلاف المركزي: $\frac{13}{12}$

المعلمة البؤرية: $\frac{25}{13}$

خطوط التقارب: $y = \frac{5 x}{12} + \frac{13}{4}$ ، $y = - \frac{5 x}{12} + \frac{3}{4}$

خطوة 15