ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{1}{x (x^{2} + 1)}$

خطوة 1

فكّ الكسر واضرب في القاسم المشترك.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أنشئ كسرًا جديدًا لكل عامل في القاسم باستخدام العامل كقاسم، وقيمة غير معروفة كبسط الكسر. ونظرًا إلى أن العامل من الرتبة الثانية، يلزم وجود $2$ من الحدود في بسط الكسر. ودائمًا ما يكون عدد الحدود اللازم في بسط الكسر مساويًا لرتبة العامل في القاسم.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.2

اضرب كل كسر في المعادلة في قاسم العبارة الأصلية. في هذه الحالة، القاسم يساوي $x (x^{2} + 1)$ .

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.3

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x (x^{2} + 1))}{x (x^{2} + 1)} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{1 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = \frac{A (x (x^{2} + 1))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.1.2

اقسِم $A (x^{2} + 1)$ على $1$ .

$1 = A (x^{2} + 1) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A \cdot 1 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.3

اضرب $A$ في $1$ .

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$1 = A x^{2} + A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 1))}{x^{2} + 1}$

خطوة 1.5.4.2

اقسِم $(B x + C) (x)$ على $1$ .

$1 = A x^{2} + A + (B x + C) (x)$

خطوة 1.5.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 = A x^{2} + A + B x \cdot x + C x$

خطوة 1.5.6

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.5.6.1

انقُل $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B (x \cdot x) + C x$

خطوة 1.5.6.2

اضرب $x$ في $x$ .

$1 = A x^{2} + A + B x^{2} + C x$

خطوة 1.6

انقُل $A$ .

$1 = A x^{2} + B x^{2} + C x + A$

خطوة 2

أنشئ معادلات لمتغيرات الكسور الجزئية واستخدمها لتعيين سلسلة معادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x^{2}$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = A + B$

خطوة 2.2

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات $x$ من كل متعادل. ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$0 = C$

خطوة 2.3

أنشئ معادلة لمتغيرات الكسر الجزئي عن طريق معادلة معاملات الحدود التي لا تتضمن $x$ . ولكي تكون المعادلة متساوية، يجب أن تكون المعاملات المتكافئة في كل متعادل متساوية.

$1 = A$

خطوة 2.4

عيّن سلسلة المعادلات لإيجاد معاملات الكسور الجزئية.

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

$0 = A + B$

$0 = C$

$1 = A$

خطوة 3

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $C = 0$ .

$C = 0$

$0 = A + B$

$1 = A$

خطوة 3.2

أعِد كتابة المعادلة في صورة $A = 1$ .

$A = 1$

$C = 0$

$0 = A + B$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ بـ $1$ في كل معادلة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل كافة حالات حدوث $A$ في $0 = A + B$ بـ $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 3.3.2

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

احذِف الأقواس.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 3.4

أوجِد قيمة $B$ في $0 = 1 + B$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $1 + B = 0$ .

$1 + B = 0$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 3.4.2

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = - 1$

$A = 1$

$C = 0$

خطوة 3.5

أوجِد حل سلسلة المعادلات.

$B = - 1 A = 1 C = 0$

خطوة 3.6

اسرِد جميع الحلول.

$B = - 1, A = 1, C = 0$

خطوة 4

استبدِل كل معامل من معاملات الكسور الجزئية في $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 1}$ بالقيم التي تم إيجادها لـ $A$ و $B$ و $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- 1 x + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احذِف الأقواس.

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x + 0}{x^{2} + 1}$

خطوة 5.2

أضف $(- 1) \cdot x$ و $0$ .

$\frac{1}{x} + \frac{(- 1) \cdot x}{x^{2} + 1}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{1}{x} + \frac{- x}{x^{2} + 1}$