ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

خطوة 1

اطرح $\frac{x - 1}{x - 2}$ من كلا طرفي المتباينة.

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

خطوة 2

بسّط $\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لكتابة $\frac{x + 2}{x + 3}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

خطوة 2.2

لكتابة $- \frac{x - 1}{x - 2}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

خطوة 2.3

اكتب كل عبارة قاسمها المشترك $(x + 3) (x - 2)$ ، بضربها في العامل المناسب للعدد $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اضرب $\frac{x + 2}{x + 3}$ في $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

خطوة 2.3.2

اضرب $\frac{x - 1}{x - 2}$ في $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

خطوة 2.3.3

أعِد ترتيب عوامل $(x - 2) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

وسّع $(x + 2) (x - 2)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.1.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.2.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $x \cdot - 2$ و $2 x$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.2.2

أضف $- 2 x$ و $2 x$ .

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.2.3

أضف $x \cdot x$ و $0$ .

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.3.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.3.2

اضرب $2$ في $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.6

وسّع $(- x + 1) (x + 3)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.7.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.7.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.7.1.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.7.1.3

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.7.1.4

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.7.2

أضف $- 3 x$ و $x$ .

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.8

اطرح $x^{2}$ من $x^{2}$ .

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.9

اطرح $4$ من $0$ .

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.5.10

أضف $- 4$ و $3$ .

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 x$ .

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.7

أعِد كتابة $- 1$ بالصيغة $- 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.9

أعِد كتابة $- (2 x + 1)$ بالصيغة $- 1 (2 x + 1)$ .

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 2.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

خطوة 3

أوجِد جميع القيم التي تتحول فيها العبارة من سالبة إلى موجبة بتعيين قيمة كل عامل لتصبح مساوية لـ $0$ وحلّها.

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 4

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$2 x = - 1$

خطوة 5

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

اقسِم كل حد في $2 x = - 1$ على $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.2.1.2

اقسِم $x$ على $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

خطوة 5.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$x = - \frac{1}{2}$

خطوة 6

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 7

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 8

أوجِد قيمة كل عامل لإيجاد القيم التي تنتقل فيها عبارة القيمة المطلقة من السالب إلى الموجب.

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

خطوة 9

وحّد الحلول.

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

خطوة 10

أوجِد نطاق $- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

عيّن قيمة القاسم في $\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ لإيجاد الموضع الذي تكون فيه العبارة غير معرّفة.

$(x + 3) (x - 2) = 0$

خطوة 10.2

أوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي $0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

خطوة 10.2.2

عيّن قيمة العبارة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.2.1

عيّن قيمة $x + 3$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x + 3 = 0$

خطوة 10.2.2.2

اطرح $3$ من كلا المتعادلين.

$x = - 3$

خطوة 10.2.3

عيّن قيمة العبارة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ وأوجِد قيمة $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.3.1

عيّن قيمة $x - 2$ بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$x - 2 = 0$

خطوة 10.2.3.2

أضف $2$ إلى كلا المتعادلين.

$x = 2$

خطوة 10.2.4

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة $(x + 3) (x - 2) = 0$ صحيحة.

$x = - 3, 2$

خطوة 10.3

النطاق هو جميع قيم $x$ التي تجعل العبارة معرّفة.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

خطوة 11

استخدِم كل جذر من الجذور لإنشاء فترات اختبار.

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

خطوة 12

اختر قيمة اختبار من كل فترة وعوض بهذه القيمة في المتباينة الأصلية لتحدد أي الفترات تستوفي المتباينة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اختبر قيمة في الفترة $x < - 3$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1.1

اختر قيمة من الفترة $x < - 3$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 6$

خطوة 12.1.2

استبدِل $x$ بـ $- 6$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

خطوة 12.1.3

الطرف الأيسر $1.\overline{3}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0.875$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.2

اختبر قيمة في الفترة $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.2.1

اختر قيمة من الفترة $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = - 2$

خطوة 12.2.2

استبدِل $x$ بـ $- 2$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

خطوة 12.2.3

الطرف الأيسر $0$ أصغر من الطرف الأيمن $0.75$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.3

اختبر قيمة في الفترة $- \frac{1}{2} < x < 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اختر قيمة من الفترة $- \frac{1}{2} < x < 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 0$

خطوة 12.3.2

استبدِل $x$ بـ $0$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

خطوة 12.3.3

الطرف الأيسر $0.\overline{6}$ ليس أصغر من الطرف الأيمن $0.5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة خطأ.

False

خطوة 12.4

اختبر قيمة في الفترة $x > 2$ لترى ما إذا كانت تجعل المتباينة صحيحة أم لا.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اختر قيمة من الفترة $x > 2$ ولاحظ ما إذا كانت هذه القيمة تجعل المتباينة الأصلية صحيحة.

$x = 4$

خطوة 12.4.2

استبدِل $x$ بـ $4$ في المتباينة الأصلية.

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

خطوة 12.4.3

الطرف الأيسر $0.\overline{857142}$ أصغر من الطرف الأيمن $1.5$ ، ما يعني أن العبارة المُعطاة صحيحة دائمًا.

True

خطوة 12.5

قارن بين الفترات لتحدد أيًا منها يستوفي المتباينة الأصلية.

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ صحيحة

$- \frac{1}{2} < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

$x < - 3$ خطأ

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ صحيحة

$- \frac{1}{2} < x < 2$ خطأ

$x > 2$ صحيحة

خطوة 13

يتكون الحل من جميع الفترات الصحيحة.

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ أو $x > 2$

خطوة 14

حوّل المتباينة إلى ترميز فترة.

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

خطوة 15