ما قبل التفاضل والتكامل الأمثلة

\cos (2 x) - \cos (x) = 0

$\cos (2 x) - \cos (x) = 0$

خطوة 1

استخدِم متطابقة ضعف الزاوية لتحويل

\cos (2 x)

$\cos (2 x)$ إلى

2 \cos^{2} (x) - 1

$2 \cos^{2} (x) - 1$ .

2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x) = 0

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x) = 0$

خطوة 2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أعِد ترتيب الحدود.

2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2.2

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما

a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ ومجموعهما

b = - 1

$b = - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل

- 1

$- 1$ من

- \cos (x)

$- \cos (x)$ .

2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2.2.2

أعِد كتابة

- 1

$- 1$ في صورة

1

$1$ زائد

- 2

$- 2$

2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2.2.4

اضرب

\cos (x)

$\cos (x)$ في

1

$1$ .

2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2.3

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

خطوة 2.3.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

خطوة 2.4

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر،

2 \cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ .

(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

خطوة 3

إذا كان أي عامل فردي في المتعادل الأيسر يساوي

0

$0$ ، فالعبارة بأكملها تساوي

0

$0$ .

2 \cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 4

عيّن قيمة العبارة

2 \cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عيّن قيمة

2 \cos (x) + 1

$2 \cos (x) + 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

2 \cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$

خطوة 4.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

2 \cos (x) + 1 = 0

$2 \cos (x) + 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح

1

$1$ من كلا المتعادلين.

2 \cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$

خطوة 4.2.2

اقسِم كل حد في

2 \cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ على

2

$2$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

اقسِم كل حد في

2 \cos (x) = - 1

$2 \cos (x) = - 1$ على

2

$2$ .

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ

2

$2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.2.1.2

اقسِم

\cos (x)

$\cos (x)$ على

1

$1$ .

\cos (x) = \frac{- 1}{2}

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

\cos (x) = \frac{- 1}{2}

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

\cos (x) = \frac{- 1}{2}

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

خطوة 4.2.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.3.1

انقُل السالب أمام الكسر.

\cos (x) = - \frac{1}{2}

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

\cos (x) = - \frac{1}{2}

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

\cos (x) = - \frac{1}{2}

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

خطوة 4.2.3

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

x

$x$ من داخل جيب التمام.

x = \arccos (- \frac{1}{2})

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

خطوة 4.2.4

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

القيمة الدقيقة لـ

\arccos (- \frac{1}{2})

$\arccos (- \frac{1}{2})$ هي

\frac{2 π}{3}

$\frac{2 π}{3}$ .

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

x = \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.5

دالة جيب التمام سالبة في الربعين الثاني والثالث. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

2 π

$2 π$ لإيجاد الحل في الربع الثالث.

x = 2 π - \frac{2 π}{3}

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6

بسّط

2 π - \frac{2 π}{3}

$2 π - \frac{2 π}{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.1

لكتابة

2 π

$2 π$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.2.1

اجمع

2 π

$2 π$ و

\frac{3}{3}

$\frac{3}{3}$ .

x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.2.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.6.3.1

اضرب

3

$3$ في

2

$2$ .

x = \frac{6 π - 2 π}{3}

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

خطوة 4.2.6.3.2

اطرح

2 π

$2 π$ من

6 π

$6 π$ .

x = \frac{4 π}{3}

$x = \frac{4 π}{3}$

x = \frac{4 π}{3}

$x = \frac{4 π}{3}$

x = \frac{4 π}{3}

$x = \frac{4 π}{3}$

خطوة 4.2.7

أوجِد فترة

\cos (x)

$\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.7.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 4.2.7.2

استبدِل

b

$b$ بـ

1

$1$ في القاعدة للفترة.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 4.2.7.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

0

$0$ و

1

$1$ تساوي

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 4.2.7.4

اقسِم

2 π

$2 π$ على

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

خطوة 4.2.8

فترة دالة

\cos (x)

$\cos (x)$ هي

2 π

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

2 π

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 5

عيّن قيمة العبارة

\cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ وأوجِد قيمة

x

$x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

عيّن قيمة

\cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ بحيث تصبح مساوية لـ

0

$0$ .

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

خطوة 5.2

أوجِد قيمة

x

$x$ في

\cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

أضف

1

$1$ إلى كلا المتعادلين.

\cos (x) = 1

$\cos (x) = 1$

خطوة 5.2.2

خُذ جيب التمام العكسي لكلا المتعادلين لاستخراج

x

$x$ من داخل جيب التمام.

x = \arccos (1)

$x = \arccos (1)$

خطوة 5.2.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

القيمة الدقيقة لـ

\arccos (1)

$\arccos (1)$ هي

0

$0$ .

x = 0

$x = 0$

x = 0

$x = 0$

خطوة 5.2.4

دالة جيب التمام موجبة في الربعين الأول والرابع. لإيجاد الحل الثاني، اطرح زاوية المرجع من

2 π

$2 π$ لإيجاد الحل في الربع الرابع.

x = 2 π - 0

$x = 2 π - 0$

خطوة 5.2.5

اطرح

0

$0$ من

2 π

$2 π$ .

x = 2 π

$x = 2 π$

خطوة 5.2.6

أوجِد فترة

\cos (x)

$\cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.6.1

يمكن حساب فترة الدالة باستخدام

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

خطوة 5.2.6.2

استبدِل

b

$b$ بـ

1

$1$ في القاعدة للفترة.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

خطوة 5.2.6.3

القيمة المطلقة للعدد هي المسافة بين العدد والصفر. المسافة بين

0

$0$ و

1

$1$ تساوي

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

خطوة 5.2.6.4

اقسِم

2 π

$2 π$ على

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

خطوة 5.2.7

فترة دالة

\cos (x)

$\cos (x)$ هي

2 π

$2 π$ ، لذا تتكرر القيم كل

2 π

$2 π$ راديان في كلا الاتجاهين.

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

x = 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 6

الحل النهائي هو كل القيم التي تجعل المعادلة

(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ صحيحة.

x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$

خطوة 7

وحّد الإجابات.

x = \frac{2 π n}{3}

$x = \frac{2 π n}{3}$ ، لأي عدد صحيح

n

$n$